Laplace-Rücktransformierte mit e-Funktion

15.11.2011, 11:41

eey

Laplace-Rücktransformierte mit e-Funktion

Hallo zusammen,

ich muss folgende Spektralfunkion in den Zeitbereich rücktransformieren:

$\begin{eqnarray*} F_S(s)=\frac{3}{s+2} \cdot e^{-s} \end{eqnarray*}$

Ich hab schon diverse Laplace-Tabellen durchgeschaut, etwa die von Wikipedia, aber ich finde nirgends eine ähnliche Funktion, bei der im Bildbereich eine e-Funktion vorkommt.

Braucht man hier einen Trick, oder kann mir sonst jemand weiterhelfen?

Schöne Grüße,

eey

15.11.2011, 12:49

ollie3

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RE: Laplace-Rücktransformierte mit e-Funktion
hallo eey,
dein problem ist leicht zu lösen, du musst einfach die laplace-rücktransformation anwenden, dazu gibt es ein integral, das ist bei wikipedia nachzulesen.
gruss ollie3

15.11.2011, 15:29

naphta

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RE: Laplace-Rücktransformierte mit e-Funktion
In den Laplace-Tabellen der stückweise-stetigen Funktionen müsste die geeignete Rücktransformation zu finden sein.
Z.B. in Bronstein-Semendjajew "Taschenbuck der Mathematik.

30.12.2011, 16:09

eey

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RE: Laplace-Rücktransformierte mit e-Funktion

Zitat:

Original von ollie3
hallo eey,
dein problem ist leicht zu lösen, du musst einfach die laplace-rücktransformation anwenden, dazu gibt es ein integral, das ist bei wikipedia nachzulesen.
gruss ollie3

Hallo nochmal,

ich meld mich erst jetzt wieder, da wir zwischendurch Praktikum hatten. Ich hab mich mittlerweile wieder einige Zeit mit dieser Aufgabe befasst und komme leider nicht weiter... unglücklich

Das Integral bei Wikipedia hab ich mir zwar schon angeschaut, aber wirklich schlau werd ich nicht draus... Was bedeutet dieses Gamma in den Integralgrenzen, welchen Wert solll das haben? Und was soll dieses s_0 sein (Laut Wikipedia Konvergenzabszisse, aber was das sein soll wird leider nicht erklärt).

Kann mir jemand vielleicht an einem ganz simplen Beispiel diese Rücktransformation erklären? Also zum Beispiel an:

$\begin{eqnarray*} F_s(s)=\frac{1}{s+2} \end{eqnarray*}$

Wie würde man da das Integral ausrechnen, bzw wie wäre hier der Ansatz?

Schöne Grüße,

eey

02.01.2012, 17:33

eey

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Kann mir hier keiner weiterhelfen?

Ich komm so einfach nicht auf die Lösung unglücklich

Dabei ist das die letzte Aufgabe die mir noch fehlt von unseren Übungen...

Würde mich echt freuen wenn mir jemand irgendwie helfen könnte

02.01.2012, 18:12

Q-fLaDeN

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Die Integrale braucht man normalerweise nur für die Herleitungen der ersten Transformierten, danach hat man das ganze in Tabellen aus denen man "nur noch ablesen braucht".

Zur Anfangsaufgabe: Eine Dämpfung im Bildbereich ist eine Verschiebung im Zeitbereich.

$\begin{eqnarray*} \mathcal L ^{-1} \{F(s) \cdot \exp(-as)\} = f(t-a) \end{eqnarray*}$

Deshalb kannst du den Faktor der e-Funktion erstmal ignorieren und den Rest rücktransformieren.

$\begin{eqnarray*} \mathcal L ^ {-1} \{\frac{3}{s+2} \} = 3 \cdot \mathcal L ^ {-1} \{\frac{1}{s+2}\} \end{eqnarray*}$

Das solltest du nun auch in einer Tabelle finden. (Oder aber mit dem Dämpfungssatz lösen können.)

03.01.2012, 18:15

eey

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Vielen Dank schonmal für die Antwort Freude

Mein Problem ist eigentlich, dass das nur ein Teil der Aufgabe ist... Eigentlich soll ich die Sprunginvariant Transformierte Strecke der Strecke F_s berechnen. Dazu verwende ich folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} F_S(s) = \frac{3}{s+2} \cdot e^{-s} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_{Sd}(z)= \mathcal{Z} \left\{ \mathcal{L}^{-1} \left\{ F_S(s) \cdot \frac{1}{s} \right\} \big|_{t=k \cdot T_{Ab}} \right\} \cdot \frac{z-1}{z} \end{eqnarray*}$

Wenn ich dass jetzt erstmal so Laplace-Rücktransformiere erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} F_{Sd}(z)=3 \cdot \mathcal{Z} \left\{ e^{-2(T_{Ab}-1)} \right\} \cdot \frac{z-1}{z} \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich aber schon wieder nicht weiter wie man das jetzt Z-Transformieren soll..... Stimmt mein Zwischenergebnis bis dahin überhaupt oder hab ich schon da nen Denkfehler drin?

Schöne Grüße,

eey

03.01.2012, 18:41

sebastiano1984

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Verschiebung im Originalbereich anwenden (siehe WIKI: http://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Transformation)

liefert für $\begin{eqnarray*} F(s)=\frac{3}{s+2} \end{eqnarray*}$ mal deinem $\begin{eqnarray*} e^{-t} \end{eqnarray*}$
einfach: F(s) zu $\begin{eqnarray*} f(t-1)=3*e^{-2(t-1)} \end{eqnarray*}$

Für Fehler keine Gewähr, aber es müsste einfach mit der Tabelle so zu lösen sein!

03.01.2012, 18:48

Q-fLaDeN

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Da du keine Zwischenschritte angegeben hast kann man recht schwer nachvollziehen was du genau gemacht hast.

Wenn es um die Rücktransformierte von

$\begin{eqnarray*} F_S(s) \cdot \frac 1 s \end{eqnarray*}$

geht, so lautet diese

$\begin{eqnarray*} \frac 3 2 \cdot (1-e^{-2(t-1)}) \cdot \sigma(t-1) \end{eqnarray*}$

Bei

$\begin{eqnarray*} t = k\cdot T_{Ab} \end{eqnarray*}$

entsprechend

$\begin{eqnarray*} \frac 3 2 \cdot (1-e^{-2(k\cdot T_{Ab}-1)}) \cdot \sigma(k\cdot T_{Ab}-1) \end{eqnarray*}$

Mit der Z-Transformation kann ich dir leider noch nicht weiterhelfen, die kommt bei uns erst jetzt im Semesterendspurt.

03.01.2012, 19:15

sebastiano1984

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Sorry, bei mir fehlt noch die Multiplikation im Zeitbereich mit sigma(t-1)

03.01.2012, 20:11

eey

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Da du keine Zwischenschritte angegeben hast kann man recht schwer nachvollziehen was du genau gemacht hast.

Wenn es um die Rücktransformierte von

$\begin{eqnarray*} F_S(s) \cdot \frac 1 s \end{eqnarray*}$

geht, so lautet diese

$\begin{eqnarray*} \frac 3 2 \cdot (1-e^{-2(t-1)}) \cdot \sigma(t-1) \end{eqnarray*}$

Ok, dann hatte ich das schon falsch. Habs nochmal nachgerechnet und so sollte es dann wohl stimmen, aber in dem Sigma fehlt noch die Abtastzeit, oder?

Also so habe ich das zumindest von dieser Tabelle (Nummer 16) entnommen.

Mein Ergebnis wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{L}^{-1} \left\{ F_S(s) \cdot \frac{1}{s}\right\} = \frac{3}{2} \cdot (1-e^{-2(k \cdot T_{Ab}-1)} \cdot \sigma(k \cdot T_{Ab} - T_{Ab} -1) ) \end{eqnarray*}$

So müsste das dann stimmen oder?

Die eigentlich Frage wäre dann quasi wie ich das jetzt Z-Transformiere... verwirrt

05.01.2012, 19:07

eey

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Hm, Laplace und Z-Transformation sind hier nicht so beliebt, oder?

Weiß niemand wie man das machen könnte? Ich hab jetzt schon ziemlich viel rumgerechnet aber irgendwie krieg ichs nicht hin unglücklich

Laut Komplettlösung ist das Ergebnis für eine Abtastzeit von T_1:

$\begin{eqnarray*} T_1 = 0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_{Sd}(z)=\frac{1}{z^2} \cdot \frac{0,948}{z-0,368} \end{eqnarray*}$

und für eine Abtastzeit T_2:

$\begin{eqnarray*} T_2 = 0,2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_{Sd}(z)=\frac{1}{z^5} \cdot \frac{0,495}{z-0,67} \end{eqnarray*}$

Aber ich komm da einfach nicht drauf....

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