C[0,1] nicht vollständig

15.11.2011, 13:42

nEck

C[0,1] nicht vollständig

Moin,
ich hab mal eine kurze Frage, bin gerade ein wenig verwirrt (oder lasse mich verwirren)...

Ich soll zeigen, dass der Raum $\begin{eqnarray*} \left(C\left[0,1\right], d_1 \right) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} d_1(f,g) = \int_0^1 \! | f(x) - g(x) | \, dx \end{eqnarray*}$ nicht vollständig ist. Nun hab ich im Internet bereits schon häufiger das Beispiel der Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n(x) = x^n \end{eqnarray*}$ gesehen. Dort wird nun immer behauptet, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } f_n = f := \begin{cases}<br /> 0, & \text{wenn }x < 1\\<br /> 1, & \text{wenn }x = 1<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$
und mit $\begin{eqnarray*} f \not \in C\left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ der Raum somit nicht vollständig ist. Jetzt bin ich aber der Meinung, dass dies so falsch ist, da $\begin{eqnarray*} f_n \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ bzgl. der Metrik $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ . Die Konvergenz bzgl $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ entspricht ja nicht der punktweisen Konvergenz, die in diesem Argument verwendet wird. Stehe ich jetzt völlig auf dem Schlauch, oder ist diese "Lösung" schlichtweg falsch? Wäre dankbar für eine kurze Antwort smile

15.11.2011, 13:45

Cel

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Du stehst ein wenig auf dem Schlauch, aber nur ein bisschen. smile

Du beachtest das nicht, was auch ich immer übersehen habe. Der Knackpunkt bei Vollständigkeit ist sehr oft nicht die Konvergenz, sondern die Konvergenz IM Raum. Was ist denn mit der Grenzfunktion f? Im Bezug auf $\begin{eqnarray*} C([a,b]) \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Ach, das hast du ja bereits geschrieben. Nun, in einem Banachraum müssen alle CF konvergieren, und zwar in dem Raum. Das heißt, der Grenzwert muss drin liegen.

15.11.2011, 13:53

nEck

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Das ist mir soweit klar smile

Nun gilt doch aber für $\begin{eqnarray*} 0 \in C\left[0,1\right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d_1(f_n, 0) = \int_0^1 \! |x^n - 0| \, dx = \frac{1}{n+1} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ und damit konvergiert $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ bzgl $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 0 \in C\left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ . Damit wäre das so gewählte $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ doch kein geeignetes Gegenbeispiel, oder?

15.11.2011, 15:04

Cel

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Ich tu mich gerade selbst schwer, das zu erklären. Welche Vorlesung hörst du? Denn ich könnte dir jetzt einfach sagen, dass deine anfangs angegebene Funktion der Grenzwert ist. Denn dann ist das Integral der Folge und dem Grenzwert ebenfalls 0. Du könntest f(1) beliebig wählen, das Integral ändert sich davon nicht.

Wenn dich das verwirrt, dann findest du hier einen schönen, sauberen Beweis, der ohne diese Abändern auskommt.

15.11.2011, 15:25

juffo-wup

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Aber das ist so kein Gegenbeispiel. Vollständigkeit verlangt nur, dass jede C.F. konvergiert. Diese C.F. konvergiert in der angegebenen Seminorm gegen die Nullfunktion, eine stetige Funktion. Dass sie auch gegen eine andere unstetige Funktion konvergiert, tut dafür nichts zur Sache.
edit: Das Beispiel unter dem Link ist natürlich ok.

15.11.2011, 15:33

Cel

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Könntest du uns (auch mir) dann mal erklären, warum das ein Gegenbeispiel ist? Ich habe nämlich gerade in meinen Ana2-Unterlagen geblättert (bisschen länger her) und da haben wir auch einfach nur geschrieben "Ist Cauchy, konvergiert gegen unstetige Funktion 0 (0<=x<1) und 1 (x=1)". So ganz möchte mir das jetzt auch nicht in den Kopf, damals haben wir das alles so akzeptiert. In der Sprache der Maßtheorie ist das natürlich die 0, aber davon wusste ich in Ana2 noch nichts.

Außerdem sprechen doch Banachräume von Normen, wie du schreibst ist das Ding eine Seminorn, ich hätte gesagt, dass diese Funktion überhaupt keinen Grenzwert hat, denn ich kann die Funktionen in der 1 abändern. Und Grenzwerte sind eindeutig.

15.11.2011, 15:53

juffo-wup

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Zitat:

Ich habe nämlich gerade in meinen Ana2-Unterlagen geblättert (bisschen länger her) und da haben wir auch einfach nur geschrieben "Ist Cauchy, konvergiert gegen unstetige Funktion 0 (0<=x<1) und 1 (x=1)".

Naja, das Beispiel zeigt, dass Cauchyfolgen stetiger Funktionen nicht punktweise gegen eine stetige Funktion konvergieren müssen. Aber wenn man einfach nur fragt, ob ein stetiges f existiert mit $\begin{eqnarray*} \int_{0}^1 |f(x)-f_n(x)|dx=0 \end{eqnarray*}$ dann ist die Antwort eindeutig ja.

Zitat:

Außerdem sprechen doch Banachräume von Normen, wie du schreibst ist das Ding eine Seminorn, ich hätte gesagt, dass diese Funktion überhaupt keinen Grenzwert hat, denn ich kann die Funktionen in der 1 abändern. Und Grenzwerte sind eindeutig.

Da der Raum so kein wirklicher normierter Raum ist, lässt sich der Satz zur Eindeutigkeit von Grenzwerten nicht anwenden. Ob man dann trotzdem den Begriff Grenzwert (so definiert wie sonst auch) verwendet, ist ja Definitionsfrage, aber da in der Aufgabenstellung auch von Vollständigkeit die Rede ist, gehe ich mal davon aus, dass man das soll.

Mir ist noch aufgefallen, dass der Beweis auf "Mathepedia" gegen Ende etwas schlampig formuliert ist: Aus $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{1}{2}} |f(t)|dt=0 \end{eqnarray*}$ wird z.B. geschlossen, dass f auf diesem Intervall 0 ist. Das müsste man mit der Stetigkeit von f beweisen (Widerspruchsbeweis), was im Artikel nicht erwähnt wird.

15.11.2011, 16:04

nEck

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Das driftet zwar ein wenig weg von der ursprünglichen Fragestellung, aber $\begin{eqnarray*} || f ||_1 = \int_0^1 \! |f(x)| \, dx \end{eqnarray*}$ definiert doch eine Norm und nicht nur eine Halbnorm auf $\begin{eqnarray*} C\left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ ?

15.11.2011, 16:07

sergej88

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ja, Norm

15.11.2011, 16:18

juffo-wup

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Zitat:

Original von nEck
Das driftet zwar ein wenig weg von der ursprünglichen Fragestellung, aber $\begin{eqnarray*} || f ||_1 = \int_0^1 \! |f(x)| \, dx \end{eqnarray*}$ definiert doch eine Norm und nicht nur eine Halbnorm auf $\begin{eqnarray*} C\left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ ?

Vollkommen richtig, da habe ich mich vertan. Grenzwerte sind also eindeutig. Also konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ nicht gegen die Nullfunktion und die angegebene unstetige Funktion, sondern nur gegen die Nullfunktion.

15.11.2011, 16:23

Cel

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Ja, das habe auch ich nicht bedacht. Aber damit ist die Argumentation in meiner Ana2-Übung falsch. Komisch, dass mir das erst jetzt auffällt ...

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