Fibonacci - Induktionsbeweis

15.11.2011, 15:05

steviehawk

Fibonacci - Induktionsbeweis

Meine Frage:
Hallo Leute, ich muss folgendes per vollständiger Induktion beweisen: Die F_n bezeichnen die einzelnen Glieder der Fibonacci - Folge, so ist F_1 das erste Glied.

Sei $\begin{eqnarray*} F_1 = 1, F_2 = 1; F_{n+1} = F_n + F_{n-1} \end{eqnarray*}$ dann ist: $\begin{eqnarray*} F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich hab dann mal so angefangen:

$\begin{eqnarray*} n = 2 \end{eqnarray*}$ dann ist: $\begin{eqnarray*} F_3F_1 - F_2^2 = (2 \cdot 1) - (1)^2 = 2 - 1 = 1 = (-1)^2 \end{eqnarray*}$

So jetzt setzte ich ja für n immer n +1 ein. Also:

$\begin{eqnarray*} F_{n+1+1}F_{n+1-1} - F_{n+1}^2 = F_{n+2}F_n - F_{n+1}^2 \end{eqnarray*}$ von oben weiß ich ja, dass $\begin{eqnarray*} F_{n+1} = F_n + F_{n-1} \end{eqnarray*}$ ist! Also kann ich das ja ersetzen.

$\begin{eqnarray*} F_{n+2}F_n - (F_n + F_{n-1})^2 \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} F_{n+2}F_n - (F_n^2 + 2F_nF_{n-1} +F_{n-1}^2 ) \end{eqnarray*}$ so und jetzt weiß ich nicht mehr wie ich weiter machen soll!

Ich muss ja irgendwie wieder auf meine Induktionsannahme kommen, also auf $\begin{eqnarray*} F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n \end{eqnarray*}$ dann kann ich hierfür $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ schreiben, wenn der rest dann auch noch -1 ist, dann kann ich dafür (-1) schreiben und ich erhalte hoffentlich irgendwie $\begin{eqnarray*} (-1)^n \cdot (-1) = (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$

kann mir jemand einen Tipp geben?

15.11.2011, 15:30

Calahan

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RE: Fibonacci - Induktionsbeweis
Es ist

$\begin{eqnarray*} F_{n+2}F_n-F_{n+1}^2=F_{n+1}F_n+F_n^2-F_{n+1}^2. \end{eqnarray*}$

Jetzt klammere mal $\begin{eqnarray*} F_{n+1} \end{eqnarray*}$ aus und beachte dann

$\begin{eqnarray*} F_n-F_{n+1}=-F_{n-1}. \end{eqnarray*}$

16.11.2011, 10:03

steviehawk

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RE: Fibonacci - Induktionsbeweis
ok, also ich habe:

$\begin{eqnarray*} F_{n+2}F_n - F_{n+1}^2 = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_{n+2}F_n - F_{n+1}^2 = F_{n+1}F_n + F_n^2 - F_{n+1}^2 = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_{n+1} (F_n - F_{n+1}) + F_n^2 \end{eqnarray*}$ jetzt hast du mir noch den Tipp gegeben, dass das in der Klammer das Gleiche ist wie: $\begin{eqnarray*} - F_{n-1} \end{eqnarray*}$ also setzte ich das ein:

$\begin{eqnarray*} F_{n+1} ( - F_{n-1} ) + F_n^2 \end{eqnarray*}$ so wenn ich jetzt die Klammer auf löse, dann bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} - F_{n+1}F_{n-1} + F_n^2 = - (F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 ) \end{eqnarray*}$ das ist der Klammer ist ja wieder meine Induktionsannahme, also $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ also:

$\begin{eqnarray*} - ( -1)^n = (-1) (-1)^n = (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$

so ich hoffe das stimmt so verwirrt

Danke für den guten Tipp!

16.11.2011, 10:11

Calahan

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RE: Fibonacci - Induktionsbeweis

Zitat:

Original von steviehawk
so ich hoffe das stimmt so verwirrt

Ja tut's! Warum also das am Kopf kratzen?

16.11.2011, 21:36

steviehawk

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RE: Fibonacci - Induktionsbeweis
Es ist

$\begin{eqnarray*} F_{n+2}F_n-F_{n+1}^2=F_{n+1}F_n+F_n^2-F_{n+1}^2. \end{eqnarray*}$

mir ist gerade nicht mehr ganz klar warum das hier so ist!

Ok, jetzt wieder klar!

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