Mittelpunkt einer Strecke - Versuch eines Beweises

15.11.2011, 15:42

Christian_P

Mittelpunkt einer Strecke - Versuch eines Beweises

Hallo Leute! Kann ich euch ein bisschen nerven? Wink

Ich möchte beweisen: Wenn $\begin{eqnarray*} P_1(x_1;y_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_2(x_2;y_2) \end{eqnarray*}$ zwei beliebige Punkte der Ebene sind, so sind die Koordinaten des Mittelpunktes $\begin{eqnarray*} M_0(x_0;y_0) \end{eqnarray*}$ der Strecke $\begin{eqnarray*} \overline{P_1P_2} \end{eqnarray*}$ gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} x_0=\frac{x_1+x_2}{2} \quad \text{und} \quad y_0=\frac{y_1+y_2}{2} \end{eqnarray*}$

Ich hab mir überlegt, wie ich das am besten nachweisen kann, und da ich gerade die Vektorrechnung zu verstehen beginne, möchte ich diese mal dazu verwenden, um die Behauptung oben in einer möglichst lückenlosen Schlusskette zu beweisen. Ich bin noch nicht sehr erfahren und mir ist klar, dass das hier nur eine leichte Übung ist, insbesondere für den Könner. Ich möchte es aber trotzdem immer mal versuchen, denn ich hab vor in Richtung Mathe zu studieren.

Es wäre lieb, wenn ihr eure Meinung sagen könntet smile

Los gehts!

Die Behauptung oben soll beweisen werden. Die vektorielle Betrachtung bietet eine sehr anschauliche Beschreibung des Sachverhaltes (Siehe Bild).

Die Folgende Behauptung kann jeder nachvollziehen und sie ist logisch einwandfrei (Ist sie es?):
Gehe auf kürzestem Wege vom Ursprung $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ und gehe dann die halbe Strecke $\begin{eqnarray*} \overline{P_1P_2} \end{eqnarray*}$ und du hast den Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ erreicht (siehe Bild).

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP_1}+\frac{1}{2} \overrightarrow{P_1P_2}\quad \quad \overrightarrow{P_1P_2}=\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP_1}+\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_1}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP_1}+\frac{1}{2} \overrightarrow{OP_2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OP_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OP_1}+\frac{1}{2} \overrightarrow{OP_2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}\right) \end{eqnarray*}$

Einsetzten der Koordinaten

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} =\frac{1}{2}\left( \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} =\frac{1}{2} \begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aus dieser letzten Gleichung gewinnt man die zwei Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} x_0=\frac{x_1+x_2}{2} \quad \text{und} \quad y_0=\frac{y_1+y_2}{2} \end{eqnarray*}$

und das ist genau die Behauptung von oben.

$\begin{eqnarray*} \mathrm{w.z.b.w.} \end{eqnarray*}$

Ist diese Schlusskette eindeutig nachvollziehbar und logisch richtig? Oder hättet ihr hier und da etwas zu verbessern? Vielleicht habt ihr sogar noch eine bessere Idee für einen Beweis.

lieben Gruß,
Christian

15.11.2011, 16:04

Leopold

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RE: Mittelpunkt einer Strecke - Versuch eines Beweises

Zitat:

Original von Christian_P
Hallo Leute! Kann ich euch ein bisschen nerven?

Ja.

Zitat:

Original von Christian_P
Ist diese Schlusskette eindeutig nachvollziehbar und logisch richtig?

Ja.

Zitat:

Original von Christian_P
Vielleicht habt ihr sogar noch eine bessere Idee für einen Beweis.