erste Gaußsche Summe berechnen (Legendre-Symbol)

15.11.2011, 16:19

Hamsterchen

erste Gaußsche Summe berechnen (Legendre-Symbol)

Hi,
hab hier folgende Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} p=5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \xi=e^{\frac{2\pi i}5} \end{eqnarray*}$ . Berechne $\begin{eqnarray*} g_1=\sum\limits_{l=1}^4(\frac l5)\xi^l \end{eqnarray*}$ .

Ich habe folgendes: $\begin{eqnarray*} (\frac 15)=1, (\frac 25)=-1, (\frac 35)=1=(\frac 45) \end{eqnarray*}$ . Damit sollte die Summe dann lauten: $\begin{eqnarray*} \xi-\xi^2+\xi^3+\xi^4 \end{eqnarray*}$ .

Meine Frage: Sind die Legendre-Symbole richtig berechnet? Und vor allem: Was mach ich jetzt mit den ganzen Xi's? Kann man die noch vereinfachen?

LG
Hamsterchen

15.11.2011, 18:24

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist es eine Quadratzahl zu viel (sind ja nur $\begin{eqnarray*} \frac{p-1}{2} \end{eqnarray*}$ Stück ohne die 0),
3 ist kein Quadrat modulo 5.
Die $\begin{eqnarray*} \xi^k \end{eqnarray*}$ erfüllen einige Gleichungen: z.B. sind $\begin{eqnarray*} \xi^0 , \ldots, \xi^4 \end{eqnarray*}$ die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} X^5-1 \end{eqnarray*}$ , die Summe der 5 Zahlen ist also 0.
Außerdem gilt $\begin{eqnarray*} \xi^{-a}= \xi^{5-a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |\xi^a|=1 \end{eqnarray*}$ .

15.11.2011, 19:59

Hamsterchen

Auf diesen Beitrag antworten »

hi, danke für deine antwort. bei der 3 kommt ja auch ne -1 hin, weil 3^2=9=4=-1 mod 5 ^^ keine ahnung, was ich da eben gerechnet habe.
werde mir deine tips gleich nochmal ansehen und etwas rumprobieren und dann nochmal bescheid geben, was ich hab bzw. OB ich was hab =)

lg
hamsterchen

15.11.2011, 20:18

Hamsterchen

Auf diesen Beitrag antworten »

hi, also ich hab jetzt das hier

Aus $\begin{eqnarray*} \xi^4+\xi^3+\xi^2+\xi+1=0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} -\xi^2=\xi^4+\xi^3+\xi+1 \end{eqnarray*}$ und das eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \xi^4-\xi^3-\xi^2+\xi=\xi^4-\xi^3+\xi^4+\xi^3+\xi+1+\xi=2\xi^4+2\xi+1=2\xi^{-1}+2\xi+1 \end{eqnarray*}$ ,
aber jetzt weiß ich nicht weiter. könntest du mir noch einen tip geben?

lg

15.11.2011, 21:38

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich könnte den tipp wiederholen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \xi^{-a}= \xi^{5-a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |\xi^a|=1 \end{eqnarray*}$ .

.
Allerdings frag ich mich gerade was berechnen hier eigentlich heißen soll.
Finde $\begin{eqnarray*} 2\xi^{-1}+2\xi+1 \end{eqnarray*}$ als Ergebnis eigentlich ganz schön.

15.11.2011, 21:46

Hamsterchen

Auf diesen Beitrag antworten »

hi, ja ich weiß leider auch nicht, wie weit wir das machen sollen.
wie kann ich denn den betrag mit ins spiel bringen? mein größtes problem gerade ist, dass ich nicht weiß, wie ich die noch vereinfachen soll, weil da ja ein + dazwischen steht und kein "mal" ^^ dann wäre es ja leichter =)

lg
hamsterchen

EDIT: Gehts denn in e^ Schreibweise noch besser?

15.11.2011, 21:49

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir sind in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ . Wenn Du $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \xi^{-1} \end{eqnarray*}$ hinzeichnest sieht Du relativ schnell worauf ich da raus will. Es kommt dann eine reelle Zahl raus, finde das aber wie gesagt nicht so schön.

15.11.2011, 21:54

Hamsterchen

Auf diesen Beitrag antworten »

joa da kommt nach augenmaß dann was um die 0,6 raus oder so ^^
aber nochmal: gehts mit der e^-Schreibweise irgendwie besser? bin da leider net so fit drin xD

EDIT: Grad was aufgefallen: in Wikipedia steht, dass $\begin{eqnarray*} \xi=\frac{\sqrt 5-1}4 \end{eqnarray*}$ ist. Da die beiden Punkte ja "übereinander liegen" und man bei der Addition das Parallelogramm einzeichnet, sollte sich doch der Realteil einfach nur verdoppeln und der Imaginärteil verschwinden. Da man das ganze dann nochmal verdoppeln muss, weil ja jeweisl 2 xi's und 2 xi^{-1} da sind, verschwindet einfach die 4 ausm nenner, dann muss noch 1 addiert werden und dann wäre man bei $\begin{eqnarray*} \sqrt 5 \end{eqnarray*}$ , was meinem augenmaß von 2*0,6+1 sogar entsprechen würde ^^

15.11.2011, 22:15

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Das "übereinanderliegen" hat einen Namen. $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \xi^{-1} \end{eqnarray*}$ sind komplex konjugiert. (Komplexe Konjugation ist eine nicht ganz unwichtige Abbildung immerhin erzeugt sie $\begin{eqnarray*} Gal(\mathbb{C}/\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ )
Die e-Schreibweise ist zum Multiplizieren ganz gut zum Addieren eher weniger.

Neue Frage »

Antworten »

erste Gaußsche Summe berechnen (Legendre-Symbol)

Verwandte Themen