affine Ebene?

15.11.2011, 16:49

KelvinGroß

affine Ebene?

Meine Frage:
weiß jemand wie ich zeigen kann, daß $\begin{eqnarray*} A \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ genau dann eine affine ebene ist, wenn $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (a_1,a_2,a_3) \neq (0,0,0) \end{eqnarray*}$ existieren, so daß $\begin{eqnarray*} A=\left\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb R ^3 ~:~ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b \right\} \end{eqnarray*}$ erfüllt ist?

Meine Ideen:
danach frag ich

15.11.2011, 16:53

Leopold

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Alles steht und fällt damit, wie ihr "affine Ebene" definiert habt. Diese Definition mußt du hier schon vollständig angeben.

15.11.2011, 16:56

KelvinGroß

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ist das nicht einheitlich? Eine affine Ebene E ist eine Menge der Form a + s*v + t*w, für linear unabhängige v und w und s,t aus IR.

15.11.2011, 17:03

Leopold

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Zitat:

Original von KelvinGroß
ist das nicht einheitlich?

Es ist immer die Frage, womit man anfängt und was man aus dem Anfang alles folgert. Man kann auch das, was du zeigen sollst, als Definition für eine affine Ebene nehmen. Und dann z.B. deine Definition daraus folgern.

Sagt dir der Begriff "Vektorprodukt" etwas? Darfst du das verwenden? Und wie sieht es mit "Normalenvektor" aus?

15.11.2011, 17:06

KelvinGroß

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ich kenn "Vektorprodukt" und "Normalenvektor" aus der schule. In der uni kams bisher noch nicht dran. Nur das skalarprodukt bzw. die norm

15.11.2011, 17:17

Leopold

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Dann darfst du das auch nicht verwenden.
Es wird also darauf hinauslaufen, daß du aus den drei Gleichungen, die entstehen, wenn du in der Parameterdarstellung zu den drei Koordinaten übergehst, die Parameter eliminieren mußt. Wenn du die Parameter $\begin{eqnarray*} s,t \end{eqnarray*}$ als Unbekannte ansiehst, dann hast du ja zwei Unbekannte und drei Gleichungen. Rechne einfach einmal ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Durch Übergang zu den Koordinaten bekommst du die drei Gleichungen. Addition der ersten zum $\begin{eqnarray*} (-3) \end{eqnarray*}$ -fachen der zweiten und zum $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ -fachen der dritten eliminiert dir den Parameter $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ . In den beiden verbleibenden Gleichungen kannst du entsprechend auch noch den Parameter $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ eliminieren.

EDIT
Alternativ kannst du auch mit dem Skalarprodukt argumentieren. Hattet ihr schon, daß sich zwei linear unabhängige Vektoren zu einer Basis ergänzen lassen, wo der dritte Vektor auf den ersten beiden senkrecht steht (orthogonales Komplement)?

15.11.2011, 18:13

KelvinGroß

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nein, hatten wir leider auch noch nicht^^

hab ich dich so richtig verstanden: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -3 & | x_1-2 \\ 1 & 4 & | x_2+3 \\ -1 & 2 & | x_3-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

15.11.2011, 18:18

Leopold

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Ja, jetzt das Gleichungssystem für $\begin{eqnarray*} s,t \end{eqnarray*}$ lösen. Die Stufenform sagt dir, unter welchen Bedingungen an $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray*}$ es Lösungen gibt.

15.11.2011, 20:18

KelvinGroß

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gut mach ich: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -3 & | x_1-2 \\ 1 & 4 & | x_2+3 \\ -1 & 2 & | x_3-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -3 & | x_1-2 \\ 0 & 6 & | x_2+x_3+2 \\ -1 & 2 & | x_3-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -3 & | x_1-2 \\ 0 & 3 & | 0,5x_2+0,5x_3+1 \\ -1 & 2 & | x_3-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ->

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & | x_1+0,5x_2+0,5x_3-1 \\ 0 & 3 & | 0,5x_2+0,5x_3+1 \\ -1 & 2 & | x_3-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & | \frac{1}{3} x_1+\frac{1}{6}x_2+\frac{1}{6}x_3-\frac{1}{3} \\ 0 & 3 & | 0,5x_2+0,5x_3+1 \\ -1 & 2 & | x_3-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ->

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & | \frac{1}{3} x_1+\frac{1}{6}x_2+\frac{1}{6}x_3-\frac{1}{3} \\ 0 & 3 & | 0,5x_2+0,5x_3+1 \\ 0 & 2 & | \frac{1}{3} x_1+\frac{1}{6}x_2+\frac{7}{6}x_3-\frac{4}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & | \frac{1}{3} x_1+\frac{1}{6}x_2+\frac{1}{6}x_3-\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & | \frac{1}{6}x_2+\frac{1}{6}x_3+\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & | \frac{1}{6} x_1+\frac{1}{12}x_2+\frac{7}{12}x_3-\frac{4}{6} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das sind aber komischer ergebnisse, da hab ich bestimmt was falsch gemacht unglücklich

15.11.2011, 20:23

Leopold

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Das ist aber eine umständliche Herangehensweise. Auf den ersten Blick erscheint sie mir zumindest richtig (ohne Garantie). Jetzt fehlt aber noch der letzte Schritt zur Stufenform. Addiere im letzten System das Negative der zweiten Zeile zur dritten, damit du eine weitere Null erhältst.

15.11.2011, 20:25

KelvinGroß

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danke!

-> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & | \frac{1}{3} x_1+\frac{1}{6}x_2+\frac{1}{6}x_3-\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & | \frac{1}{6}x_2+\frac{1}{6}x_3+\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & | \frac{1}{6} x_1-\frac{1}{12}x_2+\frac{5}{12}x_3-\frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wie hättest du es denn gemacht? Big Laugh

15.11.2011, 20:28

Leopold

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Im ersten Schritt so

Zitat:

Original von Leopold
Addition der ersten zum $\begin{eqnarray*} (-3) \end{eqnarray*}$ -fachen der zweiten und zum $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ -fachen der dritten eliminiert dir den Parameter $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ .

Im zweiten dann entsprechend. Das wären drei Matrizen gewesen, und kein einziger Bruch!

Jetzt hast du die Rechnung hinter dir. Jetzt mußt du aber das Ergebnis interpretieren!

15.11.2011, 20:35

KelvinGroß

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ok

also die letzte zeile ist ja 0=bla bla bla
damit das LGS lösbar ist muss die rechte seite auch gleich 0 sein

15.11.2011, 20:44

Leopold

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Und damit hast du eine Bedingung an $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray*}$ , wie sie in der Aufgabe verlangt ist.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -3 & x_1 - 2 \\ 1 & 4 & x_2 + 3 \\ -1 & 2 & x_3 - 1 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 3 & -3 & x_1 - 2 \\ 0 & -15 & x_1 - 3x_2 -11 \\ 0 & 3 & x_1 + 3x_3 - 5 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 3 & -3 & x_1 - 2 \\ 0 & -15 & x_1 - 3x_2 -11 \\ 0 & 0 & 6x_1 - 3x_2 +15x_3 -36 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn man in der letzten Zeile durch $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ dividiert, lautet also die Bedingung:

$\begin{eqnarray*} 2x_1 - x_2 + 5x_3 = 12 \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du überlegen, wie du argumentieren kannst, wenn du nicht wie hier konkrete Zahlen hast.

16.11.2011, 20:01

KelvinGroß

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alles klar. habs geschafft danke!

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