Bedinge Wahrscheinlichkeit angeben

07.01.2007, 20:53

Mazze

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Bedinge Wahrscheinlichkeit angeben

So, irgendwie komm ich bei foglendem nicht weiter:

2 Astronomen beobachten mit 2 verschiedenen Teleskopen den Sternenhimmel und zählen die Sterne. Die Messungen heissen $\begin{eqnarray*} M_1,M_2 \end{eqnarray*}$ . Mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von e kann der Astronom einen Stern zuviel oder zuwenig zählen. Mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von f ist das Teleskop falsch eingestellt und der Astronom zählt 3 oder weniger Sterne zuwenig. Dieses Ereignis wird mit den bernoulliverteilten ZV F1/F2 modelliert.

Die Aufgabe ist die bedingten Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(M_1 | N) \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} N \in \{1,2,3\},M_1 \in \{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ abhängig von f und e in eine Tabelle zu schreiben. Und damit komme ich irgendwie nicht klar, was eindeutig ist:

$\begin{eqnarray*} P(M_1 = a | N = a, F = f) = 1 - e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(M_1 = a\pm 1 | N = a, F = f) = e \end{eqnarray*}$

Aber das ist nicht das was ich suche. Hat jemand eine Idee?

07.01.2007, 21:00

AD

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RE: Bedinge Wahrscheinlichkeit angeben

Zitat:

Original von Mazze
Die Messungen heissen $\begin{eqnarray*} M_1,M_2 \end{eqnarray*}$ .

Das ist mir viel zu vage. Später betrachtest du Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} M_1,M_2 \end{eqnarray*}$ mit Werten von 1 bis 4. Also schreib mal klipp und klar, und unmissverständlich auf, was deine Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} M_1,M_2,N,F \end{eqnarray*}$ für eine inhaltliche Bedeutung haben: Zahl der (tatsächlichen oder beobachteten) Sterne, Differenz zwischen tatsächlichen und beobachteten Sternen, oder oder oder...

07.01.2007, 21:10

Mazze

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Tja und das ist das Problem genauer stehts da auch nicht. Es geht hierbei um Bayesnetze eventuel hilft das mehr. Also:

$\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ sind die Beobachtungen.
$\begin{eqnarray*} F_i \end{eqnarray*}$ sind die Fehleinstellungen der beiden Teleskope.
N ist die tatsächliche Sternanzahl.

Für die Teilaufgabe wird angenommen das

$\begin{eqnarray*} M_1 \in \{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} N \in \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$

Weiterhin sind die $\begin{eqnarray*} F_i \end{eqnarray*}$ Bernoulliverteilt mit Wahrscheinlichkeit f.

Jetzt sollen die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(M_1 = a | N = b) \|a \in \{1,2,3,4\},b \in \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ abhängig von e,f in eine Tabelle geschrieben werden. Naja, das ist jetzt zumindest besser Strukturiert.

07.01.2007, 21:14

AD

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Zitat:

Original von Mazze
$\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ sind die Beobachtungen.

Ok, dann stelle ich mein Fernrohr an und sage:

$\begin{eqnarray*} M_1 = \{ \text{Polarstern}, \text{Sirius}, \text{Alpha Centauri} \} \end{eqnarray*}$

Es geht doch um irgendwelche Anzahlen, und es hat doch keinen Zweck, irgendwas über Zufallsgrößen zu sagen, deren Definition oder Bedeutung man nicht kennt - verstehst du das nicht?

07.01.2007, 21:19

Mazze

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Achso, na

$\begin{eqnarray*} M_i = 2 \end{eqnarray*}$ bedeutet das 2 Sterne gezählt wurden, meinst Du das?

07.01.2007, 21:26

AD

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Ok, nachdem das erstmal geklärt ist:

Zitat:

Original von Mazze
Mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von f ist das Teleskop falsch eingestellt und der Astronom zählt 3 oder weniger Sterne zuwenig.

Da gibt es noch einige Freiheitsgrade, die die genaue Berechnung der von dir gesuchten Wahrscheinlichkeiten unmöglich macht:

Die genaue Aufteilung, mit welcher Wkt 3 Sterne zu wenig, 2 Sterne zu wenig oder nur 1 Stern zuwenig gezähöt werden, ist nicht bekannt? Nur deren Summe $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist bekannt? Dann vergiss es, oder du kannst allenfalls untere und obere Schranken für die gesuchten Wkten angeben, was eine Heidenarbeit ist - kann mir nicht vorstellen, dass das so gemeint ist. Irgendwelche Infos fehlen noch.

P.S.: Ach ja, und wieso redest du von $\begin{eqnarray*} P(F=f) \end{eqnarray*}$ o.ä. ? Ich denke, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist eine Wahrscheinlichkeit und damit kein Wert einer Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ . Allenfalls kann ich mir folgendes vorstellen

$\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ... Anzahl der zu wenig gezählten Sterne infolge Teleskopfehleinstellung:

$\begin{eqnarray*} P(F=0) = 1-f \end{eqnarray*}$

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07.01.2007, 21:30

Mazze

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http://ni.cs.tu-berlin.de/lehre/ki2006_0...abenblatt_6.pdf

Aufgabe 3c).

Eine genaue Verteilung ist nicht angegeben :/

07.01.2007, 21:34

AD

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Da steht "3 oder mehr Sterne zuwenig". grmmlll und Forum Kloppe

Forum Kloppe

Dann klappt es, weil ja bei dir $\begin{eqnarray*} N\leq 3 \end{eqnarray*}$ ist.

EDIT: Mir reicht's für heute, wenn jetzt schon die Mods derart bei der Wiedergabe der Aufgabenstellung schlampen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.01.2007, 21:49

Mazze

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Zitat:

Mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von f ist das Teleskop falsch eingestellt und der Astronom zählt 3 oder weniger Sterne zuwenig.

Urks da hab ich mich wohl blöd ausgedrückt, das meinte ich schon. traurig

traurig

09.01.2007, 17:53

Mazze

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Ich weiß es schickt sich nicht doppelt zu posten, und das noch als Moderator, aber da ich noch nicht wirklich weiter weiß werde ich hier mal meine bisherigen Ergebnisse kund tun:

Gegeben F = f, (falsch) würde $\begin{eqnarray*} P(M_1 = a | N = b) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a \in\{1,2,3,4\}, b \in \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ folgende Tabelle erzeugen:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 - e & e & 0 \\ e & 1 - e & e \\ 0 & e & 1 - e \\ 0 & 0 & e \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} a_{ij} = P(M_1 = i,N = j) \end{eqnarray*}$

gegeben F = w kann ich das leider überhaupt nicht ausdrücken. Zudem kann ich mir nicht vorstellen das dass über 2 Tabellen laufen soll. Was ich noch versucht habe ist über F zu marginalisieren also:

$\begin{eqnarray*} P(M_1 | N) = \alpha P(M_1,N) = \alpha \cdot (P(M_1,N,F_1 = f) + P(M_1,N,F_1 = w) ) \end{eqnarray*}$

Leider kann ich die Verbundwahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(M_1,N,F_1) \end{eqnarray*}$ nicht wirklich ausrechnen, bzw. sehe ich nicht wie ich das machen kann. Vielleicht überlegst Du Dir ja doch noch zu Antworten und mich auf den richtigen Weg zu schubsen Big Laugh

Big Laugh

09.01.2007, 18:03

AD

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Na klar mach ich das. Big Laugh

Big Laugh

Folgendes Problem taucht noch auf: Die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ gibt an, dass ein Stern zuviel oder zuwenig gezählt wird.

Auch diese Formulierung ist mehrdeutig, diesmal schon im PDF-File. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Denn bedeutet das

a) Mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ wird ein Stern zuwenig, und ebenfalls mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ wird ein Stern zuviel gezählt.

oder

b) Mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{e}{2} \end{eqnarray*}$ wird ein Stern zuwenig, und ebenfalls mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{e}{2} \end{eqnarray*}$ wird ein Stern zuviel gezählt.

Ich neige ja zu b), aber was ist im Fall, dass gar kein Stern im Teleskop zu sehen ist? Dann fällt ja der Fall "ein Stern zu wenig weg" (denn so verrückt wird ja wohl kein Astronom sein, -1 Sterne anzugeben). Konzentriert sich in diesem Fall die Gesamtwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ auf den einen Fall "ein Stern zuviel"... Fragen über Fragen.

Wie auch immer, deine diesbezügliche Variante geht nun gar nicht - mit deiner Matrix hast du nämlich die stochastische Todsünde begangen: Eiinige Spaltensummen sind größer als Eins, und Gesamtwahrscheinlichkeiten größer als Eins ... nun ja, verschieben wir die Exekution. smile

smile

09.01.2007, 18:24

Mazze

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Hehe, darauf bin ich auch schon gestoßen, ich hätte das Problem so versucht anzugehen:

$\begin{eqnarray*} P(|M_1 - N| = 0) = 1 - e \text{ gegeben F = f } \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} P(|M_1 - N| = 1) = e \text{ gegeben F = f } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(|M_1 - N| > 1) = 0 \text{ gegeben F = f } \end{eqnarray*}$

Nur müsste man dann die Ereignisse

$\begin{eqnarray*} A = |M_1 - N| = 0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} B = |M_1 - N| = 1 \end{eqnarray*}$

betrachten, für die Aufgabe wäre das dann wohl

$\begin{eqnarray*} P(A|N) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} P(B|N) \end{eqnarray*}$

Die Frage ist, ob

$\begin{eqnarray*} P(A|N) = P(M_1 = a|N = a) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} P(B|N) = P(M_1 = a + 1 | N = a) + P(M_1 = a - 1 | N = a) \end{eqnarray*}$

ist. Dann könnte man das ja lösen in dem man die Wahrscheinlichkeiten A|N,B|N berechnet und da tritt dann das Problem nicht auf das $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ negativ wird.

Nun, laut Teilaufgabe sind aber $\begin{eqnarray*} M_1,N \geq 1 \end{eqnarray*}$ das heißt man würde für diesen Teil nichtmal auf jenes Problem stoßen. Unter dieser Annahme könnte man es also nach b) berechnen. Das ist jetzt zwar keine Lösung des Problems und ansich auch nicht schön, aber es verhindert halt das Problem.

und zu der Matrix: Hammer

Hammer

Setzt man aber wie Du es gesagt hast $\begin{eqnarray*} P(M_1 = a \pm 1 | N = a) = \frac{e}{2} \end{eqnarray*}$

wäre

$\begin{eqnarray*} P(M_1 = a | N = a) = 1 - P(M_1 = a - 1,M_1 = a + 1 | N = a) = 1 - e \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 - e & \frac{e}{2} & 0 \\ \frac{e}{2} & 1 - e & \frac{e}{2} \\ 0 & \frac{e}{2} & 1 - e \\ 0 & 0 & \frac{e}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Problem jetzt ist das einige Zeilen/Spalten < 1 in der Summe sind, also wird es das wohl auch nicht sein verwirrt

verwirrt

09.01.2007, 18:34

AD

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Ach ja, $\begin{eqnarray*} N\geq 1 \end{eqnarray*}$ , hatte ich ganz vergessen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nein, jetzt ist es Ok, denn die Matrix erfasst ja den Fall $\begin{eqnarray*} P(M_1=0|N=a) \end{eqnarray*}$ nicht, der eigentlich als Zeile oben dran noch gehört, d.h. $\begin{eqnarray*} 0\leq M_1\leq 4 \end{eqnarray*}$ statt nur $\begin{eqnarray*} 1\leq M_1\leq 4 \end{eqnarray*}$ .

Mit Ok meine ich, dass jetzt erstmal der Einfluss des Astronomen korrekt modelliert ist. Die Teleskopfehleinstellung ist aber in dieser Matrix noch nicht berücksichtig. Deswegen ist die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} P(M_1=a|N=b) \end{eqnarray*}$ noch fehl am Platze, ich würde es eher $\begin{eqnarray*} P(M_1=a|N=b,F^c) \end{eqnarray*}$ nennen, wobei das Ereignis

$\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ... Teleskop ist falsch eingestellt

bezeichnet, d.h. nach den Angaben deiner Aufgabe $\begin{eqnarray*} P(F)=f \end{eqnarray*}$ und folglich $\begin{eqnarray*} P(F^c)=1-f \end{eqnarray*}$ .

09.01.2007, 18:45

Mazze

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Ja genau das sollte die Tabelle auch sein, als Nächstes hätte ich dann versucht die Tabelle für (in Deiner Notation)

$\begin{eqnarray*} P(M_1|N,F) \end{eqnarray*}$

zu bestimmen.

Zum Beispiel:

Gegeben das kein Messfehler e Vorliegt wäre

$\begin{eqnarray*} P(M_1 = 0 | N = 3) = f \end{eqnarray*}$

Die Sache ist das M_1 = 0 unter unseren Vorrausetzungen nicht möglich ist.
Und für alle anderen

$\begin{eqnarray*} a \in \{1,2,3,4\}, b \in\{1,2,3\} \end{eqnarray*}$

ist

$\begin{eqnarray*} P(M_1 = a | N = b) \end{eqnarray*}$ immer Null. Egal ob ein Messfehler e auftritt oder nicht. Das liegt daran das N höchstens 3 ist bei einer Fehleinstellung F allerdings mindestens 3 Sterne weniger gezählt werden, und die Messung M dann höchstens 0 ergibt. Oder seh ich das falsch?

09.01.2007, 18:49

AD

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Nein, völlig Ok - also liegt hier dann eine waschechte Nullmatrix vor, da ja die Zeile $\begin{eqnarray*} P(M_1=0|N=a,F) \end{eqnarray*}$ wieder fehlen soll. Letzeres wäre natürlich eine Zeile aus Einsen, womit wir wieder eine korrekte stochatische Matrix hätten.

09.01.2007, 18:59

Mazze

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Hm, jetzt müsste ich damit nur noch auf die Wahrscheinlichkeiten

$\begin{eqnarray*} P(M_1|N) \end{eqnarray*}$

kommen. Aber wie krieg ich die 2 Tabellen unter einen Hut? Ich kann ja nicht einfach nur die erste Tabelle nehmen da dass ganze ja doch irgendwie von f abhängt. Das ist wohl das Hauptproblem das ich habe. Tritt f ein ist die Wahrshceinlichkeit 0, tritt F nicht ein ist sie wie oben in der Matrix angeben. Also etwa:

$\begin{eqnarray*} P(M_1 = i | N = j )\begin{cases} a_{ij}, & \text{wenn }F_1 = f \\ 0, & \text{wenn }F_1 = w \end{cases} \end{eqnarray*}$

Aber das ist immernoch keine geschlossene Form .

09.01.2007, 19:01

AD

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Totale Wahrscheinlichkeit, hier in der Form

$\begin{eqnarray*} P\left( M_1=a \Bigm| N=b \right) = P\left( M_1=a \Bigm| N=b,F \right)\cdot P(F) + P\left( M_1=a \Bigm| N=b,F^c \right)\cdot P(F^c) \end{eqnarray*}$ .

Also eine einfache Linearkombination der beiden Matrizen.

09.01.2007, 19:05

Mazze

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Hui, ich danke Dir das war mir doch recht wichtig! Freude

Freude

Tanzen

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