Menge der algebraischen Zahlen

15.11.2011, 22:33

Quark11

Menge der algebraischen Zahlen

Meine Frage:
Hey!

Ich soll zeigen, dass die Menge der algebraischen Zahlen dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ liegen.

Meine Ideen:
Ich hatte es zuerst Überlegt so zu machen wie wir es in der VL mit den $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ liegen dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gemacht haben. Komm damit aber irgenwie nicht so recht weiter.
Meine andere Idee wäre es über den Abschluss einer Menge zu machen, aber da weiß ich garnicht recht wie ich anfangen soll.

Könnt ihr mir weiter helfen? Danke smile

15.11.2011, 22:44

sergej88

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Hallo,

sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ die Menge der algebraischen Zahlen. Überlge dir folgende Aussagen

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \subset K \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i \in K \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} + i\mathbb{Q} \subset K \end{eqnarray*}$

Daraus folgt die Behauptung, wieso?

mfg

15.11.2011, 22:50

Quark11

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Zitat:

Original von sergej88
Hallo,

sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ die Menge der algebraischen Zahlen. Überlge dir folgende Aussagen

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \subset K \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i \in K \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} + i\mathbb{Q} \subset K \end{eqnarray*}$

Daraus folgt die Behauptung, wieso?

mfg

Öhm ja gute Frage.. Du hast es jetzt ja ansich in der Form, wie wir es in der VL bei Q dicht in R gemacht hatten. Sollte ich das jetzt damit auch analog machen?

15.11.2011, 23:16

Quark11

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Könnte ich vielleicht auch so rangehen, dass die Menge dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ liegt, wenn $\begin{eqnarray*} \mathbb {C} \end{eqnarray*}$ \Menge keine e-Kugel enthält ? Das müsste doch gelten, weil .. ? Da fehlt es jetzt wieder -.-

16.11.2011, 00:28

sergej88

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JA das mit der Kugel geht auch im Grunde.

Aber wenn ihr in der Vorlesung gezeigt habt, dass $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
gilt, so kannst du dieses ja benutzen für die Aufgabe.

Allgemeiner $\begin{eqnarray*} A \subset B \Rightarrow \overline{A} \subset \overline{B} \end{eqnarray*}$
Benutze dieses geschickt. Dann solltest du hoffentlich sehen worauf ich hinaus will Augenzwinkern

mfg

16.11.2011, 18:32

Quark11

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Mmh irgendwie find ich mich damit auch nicht so wirklich zurecht. Weiß leider irgendwie nicht so recht wie ich damit anfangen soll.

Bei dem ersten Teil von der Aufgabe musste ich beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(i) := \left\{ q+ip | p,q \in{\mathbb{Q}}\right\} \subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ eine dichte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist. Denk auch das ich das richtig hab. Dein anderer Post ist ja von der Form ansich genauso, aber irgenwie weiß ich nicht so recht, wie ich jetzt bei der 2. Teilaufgabe vorgehen soll.. -.-

17.11.2011, 17:34

Quark11

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Kann mir keiner weiterhelfen?
Wäre prima wenn mir jemand sagen könnte wie ich vorgehen müsste. Bin irgendwie ratlos.. Will ja keine Lösung aber so die prinzipielle Vorgehensweise wäre super smile

17.11.2011, 20:58

Quark11

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In der Vorelsung hatten wir mal als Satz, dass jede Teilmenge $\begin{eqnarray*} A \subset \mathbb X \end{eqnarray*}$ dicht in X liegt, wenn (X,d) metrischer Raum ist..
Könnte ich jetzt nicht eigentlich einfach beweisen, dass $\begin{eqnarray*} (\mathbb{C}, d) \end{eqnarray*}$ metrischer Raum ist und die Mengen der algebraischen Zahlen eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist?

Wäre es dann nicht schon bewiesen?!

17.11.2011, 21:15

Airblader

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Den Satz hattet ihr ganz sicher nicht. Oder der Prof war selbst dicht. Aber die leere Menge ist sicherlich nicht in jedem metrischen Raum dicht. Sie ist nämlich in keinem einzigen metrischen Raum dicht.

Die Aussage

Zitat:

Will ja keine Lösung aber so die prinzipielle Vorgehensweise wäre super

ist angesichts sergejs bisherigen Beiträgen übrigens eigentlich schon fast frech.

air

17.11.2011, 21:24

Quark11

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Oh ja stimmt habe ich jetzt auch gerade gesehen - verdammt! Tut mir Leid.. Naja kann mit den Hinweisen irgendwie leider nicht recht was anfangen, weil ich nicht genau weiß wo ich richtig "loslegen" soll.. Aber dann werde ich mir das jetzt noch einmal ansehen!

17.11.2011, 21:33

Airblader

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In seinem ersten Beitrag sprach er von drei Punkten. In der Notation eurer Teilaufgabe zuvor musst du nichtmal mehr die drei Schritte zeigen, sondern nur noch $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \subset K \end{eqnarray*}$ . Dass eine Obermenge einer dichten Teilmenge auch dicht ist, das sollte man eigentlich schnell einsehen können.

air

17.11.2011, 21:37

Quark11

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Achso jetzt hab ich verstanden was er mit dem Post meinte. Jetzt wird mir einiges klar. Danke dir/euch! Denk jetzt hab ichs..

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