Beweis der Indentät, Induktion?

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16.11.2011, 10:15	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Indentät, Induktion? Meine Frage: Hallo Leute, folgendes: Beweisen Sie für beliebige reelle Zahlen $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ die Identität: $\begin{eqnarray} a^{n+1} - b^{n+1} = (a-b) (a^n + a^{n-1}b + ... + b^n) \end{eqnarray}$ Ich weiß schon mal nicht, was hier mit Identität gemeint ist! Kann man die Gleichung der per vollständiger Induktion beweisen? Meine Ideen: Danke für die Hilfe! Wenn es mit Induktion geht mach ich es dann schon selber!
16.11.2011, 10:20	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Indentät, Induktion? Identitat: Die Gleichung gilt. Induktion macht ja dann Sinn, wenn du von "gilt für n" auf "gilt für n+1" schließen kannst. Würde es nicht mehr Sinn machen, die ... durch eine korrekte Summe zu ersetzen und dann die rechte Seite aufzulösen?
16.11.2011, 11:04	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Indentät, Induktion? Ok: also es muss diese Gleichung gelten: $\begin{eqnarray} a^{n+1} - b^{n+1} = (a-b) (a^n + a^{n-1}b + ... + b^n) \end{eqnarray}$ für die rechte Seite kann ich ja schreiben: $\begin{eqnarray} (a-b) (\sum\limits_{k=0}^n a^{n-k}b^k ) \end{eqnarray}$ so und das versuche ich jetzt so aufzulösen, dass die linke Seite dabei raus kommt oder?
16.11.2011, 11:30	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Indentät, Induktion? Naja, die Auflösung sollte nicht so schwer sein, oder?
16.11.2011, 11:42	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Indentät, Induktion? mhh... also: $\begin{eqnarray} (a - b) (\sum\limits_{k=0}^n a^{n-k}b^k) = \sum\limits_{k=0}^n a^{n-k}b^k \cdot a - \sum\limits_{k=0}^n a^{n-k}b^k \cdot b = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n a^{(n-k)+1}b^k - \sum\limits_{k=0}^n a^{n-k}b^{k+1} \end{eqnarray}$ stimmts bis hier? Also ich sehe ja eigentlich jetzt schon, wenn ich k durchlaufen lasse, dass dann alle Terme bis auf $\begin{eqnarray} a^{n+1} ; - b^{n+1} \end{eqnarray}$ wegfallen! Kann ich dann also aus dem letzten direkt folgern: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n a^{(n-k)+1}b^k - \sum\limits_{k=0}^n a^{n-k}b^{k+1} = a^{n+1} - b^{n+1} \end{eqnarray}$ ??? Danke für die Hilfe!
16.11.2011, 18:29	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Indentät, Induktion? Du musst mit den Indizes spielen. Bei dir fehlt da der entscheidende Schritt für die Aufgabe. $\begin{eqnarray} (a-b) (a^n + a^{n-1}b + ... + b^n) &&= (a-b)\sum_{k=0}^na^{n-k}b^k<br /> &&=a\sum_{k=0}^na^{n-k}b^k-b\sum_{k=0}^na^{n-k}b^k<br /> &&=\sum_{k=0}^na^{n+1-k}b^k-\sum_{k=0}^na^{n-k}b^{k+1}<br /> &&=a^{n+1}+\sum_{k=1}^na^{n+1-k}b^k-\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k}b^{k+1}-b^{n+1} \end{eqnarray}$
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16.11.2011, 20:22	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Indentät, Induktion? Hallo, Danke! Ich muss ja jetzt zeigen, dass der mittlere Teil, also die beiden Summen das Gleiche aussagen! Also ihre Differenz Null ist! Um sie zusammenzufassen zu dürfen müssen ja die Grenzen gleich sein oder? also: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n a^{n+1-k}b^k - \sum\limits_{k=0}^{n-1} a^{n-k}b^{k+1} \end{eqnarray}$ das verstehe ich noch! $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n-1} a^{n+1-k}b^k + ab^n - \sum\limits_{k=1}^{n-1} a^{n-k}b^{k+1} + a^nb \end{eqnarray}$ wenn ich die Summen also gleich möchte von ihren Grenzen, dann muss ich eben wieder Elemente der ganzen Summe ausgliedern so jetzt kann ich es ja als eine Summe schreiben: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n-1} a^{n+1-k}b^k + ab^n - a^{n-k}b^{k+1} - a^nb \end{eqnarray}$ das sieht dann so aus! aber ich erkenne noch nicht, dass das Null gibt oder schon alles Falsch! Edit: Also, ich kann zwar die Zwei Summenzeichen etwas umformen und dann schreibe ich sie aus und dann sehe ich auch, dass es Null ist, aber irgendwie fehlt mir der Einfall!
16.11.2011, 23:11	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Indentät, Induktion? Ja, die Summen müssen gleiche "Laufdaten" haben. Aber das passt man hier doch schnell an. Ich habe das doch schon mundgerecht aufbereitet. Offen ist nur eine Begründung für $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^na^{n+1-k}b^k-\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k}b^{k+1}=0 \end{eqnarray}$ Das ist deine Aufgabe.
17.11.2011, 00:50	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Indentät, Induktion? Also die einzige Möglichkeit die Summen anzugleichen ist doch: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n-1} \end{eqnarray}$ oder???
17.11.2011, 10:25	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Indentät, Induktion? Nein, du musst bei einer der Summen den Index verschieben. Das was du vorschlägst, ändert ja die Anzahl der Summanden.

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