Grenzwert 1/wurzel(x)

16.11.2011, 12:12	54323	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert 1/wurzel(x) Wie bestimme ich einen Grenzwert genau? Ich würde es gerne am Beispiel $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ durchgehen. Der Grenzwert ist ja null. Kann ich das nun mit epsilon beweisen? Also indem ich sage: $\begin{eqnarray} \| \frac{1}{\sqrt{x} } - 0 \| < epsilon<br /> <=> \frac{1}{\sqrt{x} } < epsilon<br /> <=> 1 < epsilon \sqrt{x}<br /> <=> \frac{1}{epsilon^{2} } < x \end{eqnarray*}$ Ist das richtig so? Und wie muss ich weiter vorgehen? Bin leider Anfänger in sowas und blicke nicht wirklich durch...
16.11.2011, 12:33	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht schon sehr gut aus, denn jetzt kannst du die Definition der Konvergenz erfüllen: Zu jedem noch so kleinen $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ gibt es eine Zahl $\begin{eqnarray} x_\epsilon = \frac{1}{\epsilon^2} \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \left\| \frac{1}{\sqrt x}\right\| < \epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x > x_\epsilon \end{eqnarray}$ ist.
16.11.2011, 13:05	54323	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, also liege ich doch gar nicht so falsch. Wenn also $\begin{eqnarray} x > x_\epsilon \end{eqnarray}$ dann folgt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{x} < \frac{1}{x_\epsilon}<br /> <=> \frac{1}{\sqrt{x} } < \frac{1}{\sqrt{x_\epsilon}} \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} \| \frac{1}{\sqrt{x} } \| < \frac{1}{\sqrt{x_\epsilon} } = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\epsilon^{2}} } } = \epsilon \end{eqnarray}$ Ist das so richtig?
16.11.2011, 13:06	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, aber das hast du ja eigentlich schon durch die Herleitung des $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ begründet (falsch ist es aber nicht, das nochmal klarzustellen).

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