Äquivalenzrelation, Partition

16.11.2011, 14:32	Van11	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation, Partition Meine Frage: Hey,ich muss diese Aufgabe lösen und verstehe nicht,wie ich das genau beweisen kann. Brauche dringend eure Hilfe!!! Prove that if R is an equivalence relation in A, then the set of equivalence classes is a partition of A in which x and y are in the same cell iff <x,y> element von R, and if P is a partition of A, then the relation {<x,y>\|x and y are in the same cell of partition P} is an equivalence relation. Meine Ideen: equivalence relation bedeutet ja,dass die Relation reflexiv,symmetrisch und tranistiv sein muss,richtig? Aber wie zeige ich das genau und wie bringe ich das mit der Partition in Verbindung?
16.11.2011, 16:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast ja zwei Richtungen zu zeigen. Gehen wir zunächst davon aus, daß eine Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ vorliegt. Statt $\begin{eqnarray} (x,y) \in R \end{eqnarray}$ schreibe ich suggestiver $\begin{eqnarray} x \sim y \end{eqnarray}$ . Es soll dasselbe bedeuten. Die Grundeigenschaften einer Äquivalenzrelation lauten dann (wobei $\begin{eqnarray} x,y,z \end{eqnarray}$ für Elemente von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ stehen): $\begin{eqnarray} \mbox{Reflexivität:} \ \ \forall x: \ x \sim x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mbox{Symmetrie:} \ \ x \sim y \ \ \Rightarrow \ \ y \sim x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mbox{Transitivität:} \ \ x \sim y \ \ \wedge \ \ y \sim z \ \ \Rightarrow \ \ x \sim z \end{eqnarray}$ Die Äquivalenzklasse, in der $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ liegt, bezeichne ich mit $\begin{eqnarray} [x] \end{eqnarray}$ . Es ist also $\begin{eqnarray} [x] = \left\{ \, z \in A \, \left\| \, z \sim x \, \right. \right\} \end{eqnarray}$ Und jetzt geht es los. Nimm zwei Äquivalenzklassen, für die $\begin{eqnarray} [x] \cap [y] \neq \emptyset \end{eqnarray}$ gilt. Dann existiert ein $\begin{eqnarray} u \in [x] \cap [y] \end{eqnarray}$ . Jetzt verwende die Definition der Äquivalenzklassen und überlege, was du für $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ folgern kannst. Dann beachte die obigen Eigenschaften einer Äquivalenzrelation. Du kannst damit einen Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ herleiten, woraus einer über $\begin{eqnarray} [x] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} [y] \end{eqnarray}$ folgt. Formuliere die Überlegungen als kleinen Satz: $\begin{eqnarray} [x] \cap [y] \neq \emptyset \ \ \Rightarrow \ \ \ldots \text{tiefere Erkenntnis hinsichtlich} \ [x] \ \text{und} \ [y] \ldots \end{eqnarray}$ und bilde von diesem die Kontraposition.

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