wurzeln(p) oder wurzel(-p) durch primitive einheitwurzeln darstellbar

16.11.2011, 14:45

Hamsterchen

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wurzeln(p) oder wurzel(-p) durch primitive einheitwurzeln darstellbar

Hi, habe hier folgende Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} p\geq 3 \end{eqnarray*}$ prim und $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -te primitive Einheitswurzel.
Zu zeigen: Man kann $\begin{eqnarray*} \sqrt p \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sqrt{-p} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination von Potenzen von $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen.

Da ich gestern schon eine andere Aufgabe gemacht hatte, in der $\begin{eqnarray*} p=5 \end{eqnarray*}$ war, weiß ich jetzt folgendes:
Nach Wikipedia ist die erste EW $\begin{eqnarray*} \xi=\frac{\sqrt 5-1}4 \end{eqnarray*}$ und wenn man nun $\begin{eqnarray*} 2\xi^{-1}+2\xi+1 \end{eqnarray*}$ betrachtet, kommt genau $\begin{eqnarray*} \sqrt 5 \end{eqnarray*}$ raus.
Leider kenne ich keine solche Formel für beliebiges $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und komme daher nicht weiter. Würde mich über Tips freuen =)

LG
Hamsterchen

16.11.2011, 15:37

ollie3

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RE: wurzeln(p) oder wurzel(-p) durch primitive einheitwurzeln darstellbar
hallo hamsterchen,
könnte mir vorstellen, das man für den beweis die gleichung
$\begin{eqnarray*} 1+\xi +\xi^2+...+\xi^{n-1}=0 \end{eqnarray*}$ gut gebrauchen kann.

gruss ollie3

16.11.2011, 15:41

galoisseinbruder

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Nimm Dein $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ von gestern, schreibs für allgemeines $\begin{eqnarray*} \xi_p \end{eqnarray*}$ auf und mit etwas Rumrechnerei stehts da.

16.11.2011, 15:42

Hamsterchen

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Hi,
ja ich dachte auch dass es wieder was mit der 1. Gaußschen Summe zu tun hat. Aber wie soll ich die denn allgemein aufschreiben???
Bin leider noch net so fit mit dem Legendre-Symbol und dem ganzen Kram =)

16.11.2011, 15:44

galoisseinbruder

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Das hat nichts mit nicht so fit mit Legendre-Symbol zu tun. Was hast Du gestern aufsummiert- und wie sollte das aussehen wenn p nicht 5 sondern beliebig ist?

16.11.2011, 15:53

Hamsterchen

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also gestern hatte ich ja die formel $\begin{eqnarray*} \xi=\frac{\sqrt 5-1}4 \end{eqnarray*}$ , aber sowas hab ich ja jetzt nicht.
theoretisch müsste man immer 2 komplex konjugierte EW addieren, die vervielfachen und dann noch +1 rechnen.
wenn aber $\begin{eqnarray*} \sqrt{-p} \end{eqnarray*}$ rauskommen soll, dann muss man die EW wahrscheinlich subtrahieren, um auf der imaginären achse zu landen, kann das sein?

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16.11.2011, 16:00

galoisseinbruder

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Wie gesagt, verallgemeinere die gaußsumme $\begin{eqnarray*} g_1=\sum\limits_{l=1}^4(\frac l5)\xi^l \end{eqnarray*}$ .
Was fällt Dir hier bzgl der Summation auf? Wir wirds aussehen wenn p nicht unbedingt 5 ist?

16.11.2011, 16:03

Hamsterchen

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also, mein problem ist halt, dass ich nicht weiß, wie ich allgemein etwas über das legendre symbol sagen kann

allgemein sollte es so aussehen: $\begin{eqnarray*} \xi^{p-1}\pm\xi^{p-2}\pm\xi^{p-3}\ldots\pm\xi^2\pm\xi \end{eqnarray*}$ , aber damit kann ich jetzt nicht wirklich was anfangen...

EDIT: für p=5 war es ja: 1,-1,-1,1 und für p=7 ist es 1,1,-1,1,-1,-1
also nicht so wirklich symmetrisch...

16.11.2011, 16:10

galoisseinbruder

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$\begin{eqnarray*} g_1=\sum\limits_{l=1}^{p-1}(\frac lp)\xi_p^l \end{eqnarray*}$ .

16.11.2011, 16:15

Hamsterchen

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ja ich kenn die formel, aber was soll die mir jetzt sagen???
hab grad noch für p=11 die legendre-symbole berechnet, der reihe nach:
1,-1,1,1,1,-1,-1,-1,1,-1
also es ist ja dann schon so, dass sich die "vorderen" mit den "hinteren" ausgleichen.

16.11.2011, 16:18

galoisseinbruder

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Okay ich dachte das wär klar:
Berchne $\begin{eqnarray*} g_1^2 \end{eqnarray*}$ . Du wirst feststellen, dass $\begin{eqnarray*} g_1^2=(\frac{-1}{ p})p \end{eqnarray*}$ .

Edit: Tippfehler korrigiert nach Hinweis von hamsterchen

16.11.2011, 16:20

Hamsterchen

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ok werd ich dann später machen, muss jetzt leider weg. melde mich dann in ner stunde oder in 2 stunden wieder. bis dann und danke schonmal =)

lg
hamsterchen

16.11.2011, 17:51

Hamsterchen

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so bin wieder da.
also erstma hab ich ne frage zu dem, was du geschrieben hast. also $\begin{eqnarray*} (\frac 1p) \end{eqnarray*}$ ist doch immer 1, wieso hast du es denn dann dazu geschrieben???
und ich habe vorhin versucht, das mal für p=3 und p=5 auszurechnen und habe für p=3: $\begin{eqnarray*} \xi+\xi^{-1}-2 \end{eqnarray*}$ und für p=5 (höchstwahrscheinlich verrechnet) $\begin{eqnarray*} -(\xi^4+\xi^3+\xi^2-3)=-(\xi^{-1}+\xi^{-2}-\xi^2-3) \end{eqnarray*}$ .
Kann daraus leider nix schliessen und weiß erst recht nicht wie es allgemein ist...

kenne auch überhaupt keine sätze über die gaußsche summe oder das legendresymbol...

16.11.2011, 18:01

galoisseinbruder

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Das $\begin{eqnarray*} (\frac 1p) \end{eqnarray*}$ war ein tippfehler ist jetzt korrigiert.
Du weißt sicher, dass das legendresymbol multiplikativ ist, dass man Quadrate ignorieren kann. Viel mehr brauchts nicht.

P.S. Sätze über irgendwelche sachen zu kennen versperrt einem gern die Sicht fürs Wesentliche

16.11.2011, 18:12

Hamsterchen

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hi, also es tut mir wirklich leid, aber ich weiß nicht, worauf du hinaus willst. ich bin halt manchmal ziemlich schwer von begriff ^^
ok die -1 im zähler ergibt dann sinn =)

dass das legendre symbol multiplikativ ist, weiß ich. aber ich weiß nicht, was es mir nützt. mit "quadrate ignorieren" meinst du, dass da dann eh 1 rauskommt???

16.11.2011, 18:17

galoisseinbruder

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$\begin{eqnarray*} \left(\frac{a^2b}{p}\right) =\left(\frac{b}{p}\right) \end{eqnarray*}$
Hast du jetzt schon versucht $\begin{eqnarray*} g_1^2 \end{eqnarray*}$ auszurechnen?

16.11.2011, 18:24

Hamsterchen

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Also ich hab eben nochmal $\begin{eqnarray*} g_1^2 \end{eqnarray*}$ für p=5 ausgerechnet und da kommt tatsächlich 5 raus ^^
es ist so, dass 4mal $\begin{eqnarray*} \xi^5 \end{eqnarray*}$ rauskommt, was dann immer 1 ist, also insgesamt 4. dann haben sich alle potenzen weg bis auf jeweils ein von jeder potenz mit minus davor. wenn ich dann die formel anwenden will, dass die summe aller =0 gibt, muss ich zur 4 noch eins dazu addieren damit ich, damit ich die 1 für die formel hab.... ok, versteht man net xD so:

$\begin{eqnarray*} (\xi^4-\xi^3-\xi^2+\xi)^2=\ldots=-\xi^4-\xi^3-\xi^2-\xi+4=-(\xi^4+\xi^3+\xi^2+\xi+1)+5=5 \end{eqnarray*}$ .

bei p=3 sollte es dann auch so aussehen: $\begin{eqnarray*} (\xi-\xi^2)^2=\xi^2+\xi-2=\xi^2+\xi+1-3=-3 \end{eqnarray*}$ .

also das stimmt ja dann schonmal. aber trotzdem weiß ich nicht, wie ich es allgemein zeigen soll.... sorry

16.11.2011, 18:38

galoisseinbruder

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Wenn Du das $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ auch nicht allgemein hinschreibst wird das auch schwer. Du hast eine (endliche) Doppelsumme: gschickt umordnen, ein paar elementare Eigenschaften des Legrendesymbols und der einheitswurzeln anwnden und es steht da.

16.11.2011, 18:55

Hamsterchen

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welche doppelsumme meinst du? hab versucht, eine zu bilden. war aber erfolglos...
tut mir wirklich leid, dass ich so anstrengend bin ^^ vielen dank für deine hilfe

16.11.2011, 18:57

galoisseinbruder

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Zitat:

Original von galoisseinbruder
Okay ich dachte das wär klar:
Berchne $\begin{eqnarray*} g_1^2 \end{eqnarray*}$ . Du wirst feststellen, dass $\begin{eqnarray*} g_1^2=(\frac{-1}{ p})p \end{eqnarray*}$ .

Die.

16.11.2011, 19:02

Hamsterchen

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also ich weiß schon, was du meinst. nur halt nicht konkret. aber mir ist grad doch noch was eingefallen, aber bin eher unsicher, ob das stimmt ^^

$\begin{eqnarray*} g_1^2=\sum\limits_{j=1}^{p-1}\sum\limits_{l=1}^{p-1}(\frac lp)\xi^l(\frac jp)\xi^j \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt nicht ganz blöd bin, dann stimmt das für p=3 ^^

16.11.2011, 19:06

galoisseinbruder

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jetzt zusammenfassen und den Index j=il einführen.

16.11.2011, 19:10

Hamsterchen

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gut, im legendresymbol steht ja ein $\begin{eqnarray*} il \end{eqnarray*}$ , aber die potenz im $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} i+l \end{eqnarray*}$ , wie soll ich das dann machen?

hab also jetzt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{p-1}\sum\limits_{l=1}^{p-1}(\frac {il}p)\xi^{i+l} \end{eqnarray*}$

16.11.2011, 19:14

galoisseinbruder

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Du verwendest andere Indezes als ich, hab ich grad erst gesehen, also in deiner Notation l=ij.

16.11.2011, 19:19

Hamsterchen

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weiß grad net sooo genau, wie du das meinst. soll ich einfach für l=ij einsetzen?
also dann so (wobei der startwert der 2. summe mir dann doch etwas seltsam vorkommt ^^)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{p-1}\sum\limits_{ij=1}^{p-1}(\frac{iij}p)\xi^{ij+i}=\sum\limits_{i=1}^{p-1}\sum\limits_{ij=1}^{p-1}(\frac{j}p)\xi^{i(j+1)} \end{eqnarray*}$

16.11.2011, 19:22

galoisseinbruder

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da ich Dich scheinbar mehr verwirre als hilfreich bin ist es wohl erstmal sinnvoll, dass Du versucht alleine zu rechnen. Außerdem kann man nichtn über ij summieren.

16.11.2011, 19:24

Hamsterchen

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ja ich weiß, aber ich weiß einfach nicht, wie ich die summe umschreiben soll und wie ich deinen hinweis verwenden soll. mir fehlt zum selbst weiter rechnen leider jeglicher ansatz. hab ja schon alles, was ich weiß, dir gesagt und schon 3 seiten rumgerechnet mit p=3,5,7,11 ^^

kannst du mir nicht einfach den nächsten schritt sagen und vielleicht komm ich dann ja weiter...

16.11.2011, 20:52

Hamsterchen

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also ich hab jetzt versucht, das ganze anders zu lösen, komme aber auf keinen grünen zweig ^^
ich dachte mir folgendes: es gibt insgesamt (p-1)^2 summanden, davon sind (p-1) summanden $\begin{eqnarray*} =\pm 1 \end{eqnarray*}$ , da sie $\begin{eqnarray*} \pm\xi^p \end{eqnarray*}$ . Sie haben immer das selbe Vorzeichen, da die Legendrysymbole entweder symmetrisch sind oder "antisymmetrisch", also gespiegelt an der mitte sind sie entweder gleich oder genau umgekehrt. und die potenz p stellt sich ja immer zusammen aus den summanden, die von der mitte aus gesehen gleich weit weg sind (oh man, blöd zu erklären).
also bei p=5 lauten die legendresymbole 1 -1 -1 1, und bei p=7: 1 1 -1 1 -1 -1, also einmal "gleich", einmal andersrum ^^

ok dann gibt es noch für alle $\begin{eqnarray*} n=1,\ldots,p-1 \end{eqnarray*}$ jeweils (p-1) Summanden die $\begin{eqnarray*} \xi^n \end{eqnarray*}$ sind. jetzt muss ich nur noch irgendwie zeigen, dass die sich immer alle aufheben bis auf pro potenz eins, und dass die alle das selbe vorzeichen haben.

oh man, das wird so nie was xDDD

17.11.2011, 09:44

galoisseinbruder

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Nach substitution heißt die Summe so:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{p-1}\sum\limits_{j=1}^{p-1}(\frac{iij}p)\xi^{ij+i}=\sum\limits_{i=1}^{p-1}\sum\limits_{j=1}^{p-1}(\frac{j}p)\xi^{i(j+1)} \end{eqnarray*}$

Die Summe über die j mit den Legendre-Symbolen rausziehen und den hinteren Term genauer betrachten.

17.11.2011, 20:33

Hamsterchen

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Hi,
hab heute erfahren, dass der Beweis davon in der Vorlesung gemacht wurde -.- Vielleicht sollte ich sie mir mal etwas genau ansehen. Aber irgendwie ist die Aufgabe dann ja nicht mehr schwer, wenn man eh schon benutzen kann, dass $\begin{eqnarray*} g_1^2=(\frac{-1}p)p \end{eqnarray*}$ gilt.
naja jetzt hab ich aber wenigstens den beweis schritt für schritt hier liegen ^^

nochmals vielen dank für deine geduld, und ich hab ja trotzdem was gelernt =)

lg
hamsterchen

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