Betragsungleichung im Komplexen

16.11.2011, 15:25	stulle	Auf diesen Beitrag antworten »
Betragsungleichung im Komplexen Meine Frage: Hallo, ich habe folgende Aufgabe(n): Berechnen und zeichnen Sie die folgenden Mengen in der Gaußschen Zahlenebene: $\begin{eqnarray} M1=\left\{ z\in C:\| z-z_{0} \| <1, z_{0}=a+ib, a,b \in R \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M2=\left\{ z\in C:\| z-z_{0} \| =1, z_{0}=a+ib, a,b \in R \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M3=\left\{ z\in C:\| z-z_{0} \| >1, z_{0}=a+ib, a,b \in R \right\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Nun hab ich mir überlegt, für $\begin{eqnarray} z_{0} \end{eqnarray}$ a+ib einzusetzen, aber was muss ich bei z einsetzen? Und rechne ich dann über $\begin{eqnarray} \sqrt{a^{2} + b^{2} } \end{eqnarray}$ weiter, oder wie mach ich da weiter? Ich bitte um Hilfe! Danke
16.11.2011, 18:56	stulle	Auf diesen Beitrag antworten »
weiß da keiner weiter? :-)
17.11.2011, 17:34	stulle	Auf diesen Beitrag antworten »
schade ..
17.11.2011, 17:48	original	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsungleichung im Komplexen du brauchst da gar nicht viel zu rechnen.. Beispiel: \| z-zo\|=1 bedeutet: alle Punkte z, die von zo eine Einheit entfernt sind .. gewiss kannst du den zugehörenden Einheitskreis in der Gaussebene "sehen" ? und was - wenn die Punkte z dann zB weniger als eine Einheit von zo weg sind ?? usw alles klar? nebenbei: stulle unregistriert <- schade...
18.11.2011, 13:30	stulle	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, das mit dem Einheitskreis hatte ich mir schon gedacht, ich war mir nur nicht sicher .. aber lässt sich das rechnerisch nicht umsetzen .. weil die Aufgabe ja lautet, berchnen Sie! ps. ich hab mich jetzt mal registriert ;-)
18.11.2011, 13:38	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
a und b sind einmal angenommene und nun feste Größen, währenddessen bei z = x + iy Re und Im variabel sind (x, y, laufende Koordinaten). Somit gilt beispielsweise bei b) \|(x-a) + i*(y-b)\| = 1 Nun ist daraus eine Gleichung in x, y zu erstellen. Gelingt dir das jetzt? Was ergibt sich geometrisch? Wenn es ein Kreis ist, wo ist dessen Mittelpunkt? mY+
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18.11.2011, 14:28	stulle	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde das Ganze jetzt quadrieren, und käme dann auf die Kreisgleichung: (x-a)²-(y-b)²=1 (weil i²=-1 bin ich da auf dem richtigen WEg? dann wäre der MP (a,b) und der Radius ja 1 ... aber jetzt wüsste ich nicht mehr weiter .. wenn ich das jetzt zeichnen soll, setze ich dann einfach auf der reellen Achse ein unbestimmtes a und auf der imaginären ein unbestimmtes B als MP und zieh dann einen Kreis mit dem MP (a,b) und dem Radius da rum?!
18.11.2011, 21:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so ist es. Bei b) sind es demnach alle komplexen Zeiger x + iy, die genau auf dieser Kreislinie enden. Wie ist es nun bei a) und c)? Der Kreis ist ja derselbe, nun musst du beantworten, welche Punktmengen hier getroffen werden. mY+
20.11.2011, 11:45	stulle	Auf diesen Beitrag antworten »
bei a sind es dann alle Punkte im Kreisinneren, die Kreislinie aber ausgeschlossen und bei c dann alle Punkte des Kreisäußeren, die Kreislinie ebenfalls ausgeschlossen .. Richtig?
21.11.2011, 02:35	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig! mY+

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