rekursive Folge

16.11.2011, 17:00

Steffe2361

rekursive Folge

Ich werde aus diesen FOlgen einfach nicht schlau:

Ich soll zeigen, dass folgende Folgen konvergiert und ihren Grenzwert bestimmen:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 2a_n - a_{n}^2 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} a_1 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Nun ja um die Konvergenz zu zeigen, muss ich zeigen, dass sie Monoton und Beschränkt ist

Monotonie:

Naja hier hänge ich schon mal, denn um Monotonie zu zeigen muss ich $\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n \end{eqnarray*}$ rechnen un dann auf das vorzeichen achten:

Bei meiner Folgen lautet dies

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n = 2a_n - a_{n}^2 - 2a_{n-1} + a_{n-1}^2 \end{eqnarray*}$

Das hilft mir nicht weiter... verwirrt

Beschränktheit:
Unten:
Da ich durch einsetzen sehe, dass die Folge streng monoton steigend ist, muss die Unter schranke 0.5 sein
Oben:
Da ich davon ausgehe das der Linke und rechte Teil meiner Folge konvergiert kann ich auch schreiben, um den Grenzwert zu erraten.

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 2a_n - a_{n}^2 \Rightarrow a= 2a -a² \end{eqnarray*}$

Umgeformt würde das ergeben:

$\begin{eqnarray*} a= a² \end{eqnarray*}$ verwirrt

Ich bin dankbar für jede Hilfe

mfg

16.11.2011, 18:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Steffe2361
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n = 2a_n - a_{n}^2 - 2a_{n-1} + a_{n-1}^2 \end{eqnarray*}$

Das hilft mir nicht weiter... verwirrt

Da hast du zu früh aufgegeben: Weiter umgeformt ergibt das

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_{n} = (a_{n}-a_{n-1})(2-a_{n}-a_{n-1}) \end{eqnarray*}$

Wenn du vorher noch $\begin{eqnarray*} a_{n}<1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nachweisen kannst, dann hast du quasi schon den Induktionsschritt eines Monotoniebeweises.

P.S.: Alles wird wesentlicher einfacher, wenn man sich

$\begin{eqnarray*} 1-a_{n+1} = 1-2a_{n}+a_{n}^2 = (1-a_{n})^2 \end{eqnarray*}$

vor Augen hält.

17.11.2011, 11:35

Steffe2361

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Zitat:

Wenn du vorher noch $\begin{eqnarray*} a_{n}<1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nachweisen kannst, dann hast du quasi schon den Induktionsschritt eines Monotoniebeweises.

Nun gut ich soll also zeigen:

$\begin{eqnarray*} a_{n}<1 \Rightarrow 2a_{n-1} - a_{n-1}^2 < 1 \end{eqnarray*}$

und das ist wahr für alle $\begin{eqnarray*} a_n \geq 2 \end{eqnarray*}$ , da das Quadrat "schneller" steigt als die Multiplikation mit 2. Somit müsste $\begin{eqnarray*} a_n < 1 \end{eqnarray*}$ sein.

Nun gut aber wie kann ich dadurch die Monotonie zeigen?

mfg
Danke

17.11.2011, 15:43

Steffe2361

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RE: rekursive Folge
kann mir heute keiner helfen....

17.11.2011, 16:21

Steffe2361

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RE: rekursive Folge
hmm ok ich probiere es nochmal

Die angabe ist

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 2a_n - a_{n}^2 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} a_1 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Monotonie beweiße ich durch Induktion

ich gehe davon aus das $\begin{eqnarray*} a_n < a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist. und sehe durch erstes Einsetzen dass sie monoton steigend ist.

Induktions Anfang:
n=1
$\begin{eqnarray*} a_n =0,5 < 0,75 = a_{n+1} \end{eqnarray*}$ (Passt also)

Vorausetzung ist also $\begin{eqnarray*} a_n < a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Somit komme ich zum Schluss $\begin{eqnarray*} a_{n+1} < a_{n+2} \end{eqnarray*}$

Ich gehe jetzt von $\begin{eqnarray*} a_{n+2} \end{eqnarray*}$ aus:

$\begin{eqnarray*} a_{n+2} = 2a_{n+1}+a_{n+1}² > 2a_{n}+a_{n}² = a_{n+1} \end{eqnarray*}$ (Gilt laut voraussetzung)
Somit ist es monoton steigend....

Kann man das so sagen??

mfg

17.11.2011, 18:28

HAL 9000

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Die Iterationsvorschrift lautet

Zitat:

Original von Steffe2361
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 2a_n - a_{n}^2 \end{eqnarray*}$

statt des von dir nun verwendeten $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \stackrel{?}{=} 2a_n + a_{n}^2 \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Eigentlich dachte ich, es wäre klar, wie aus " $\begin{eqnarray*} a_n<1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ " die Monotonie folgt: Dann ist auch $\begin{eqnarray*} a_{n-1}<1 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} 2-a_n-a_{n-1}>0 \end{eqnarray*}$ , womit unter Benutzung von

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_{n} = (a_{n}-a_{n-1})(2-a_{n}-a_{n-1}) \end{eqnarray*}$

die Implikation

$\begin{eqnarray*} a_{n}-a_{n-1}>0 \;\Longrightarrow\; a_{n+1}-a_{n}>0 \end{eqnarray*}$

folgt, die ja dem Induktionsschritt eines Monotoniebeweises entspricht.

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