Quotientenregel

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16.11.2011, 17:47	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Quotientenregel Meine Frage: Hallo Leute wir haben gerade im Unterricht das Thema "Produktregel" behandelt und beschäftigen uns nun mit der Quotientenregel.. Ich hab mir schon im Internet rausgesucht, was die Quotientenregel ist, aber eine Sache verstehe ich nicht.. Also ich habe ersteinmal f(x)= u(x)/v(x) Ich habe jetzt im Internet gefunden, dass die Ableitung f'(x)= u'(x)v(x)-v'(x)u(x) / v^2 (x) Ich verstehe aber nicht, wie man von u(x) auf u'(x)v(x) bzw. von v(x) auf v'(x)u(x) kommt.. Kann mir das vllt jemand erklären? Danke schonmal im voraus Lg Meine Ideen:
16.11.2011, 17:53	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Lk-Mathe. Die Produktregel ist bekannt oder? Auch die Kettenregel? Dann schau dir mal hier die Herleitung mit beidem an Klick mich
16.11.2011, 18:01	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Verkettete Funktionen werden durch Multiplikation verkettet. Sind die einzelnen Kettenglieder dann Zähler und Nenner?
16.11.2011, 18:02	PhL	Auf diesen Beitrag antworten »
die quotientenregel ist nichts anderes als die produkt regel bedenke dass du den quotienten auch als u(x)/v(x) = u(x) * 1/v(x) = u(x)* v(x)^-1 schreiben kannst so nun arbeite wie gewohnt mit der produktregel und wie du leicht pruefen kannst wirst du auf u'(x)v(x)^-1 + (u(x)-v'(x)*v(x)^-2) kommen schreibe das auf einen nenner und du bist exakt beim gewuenschten LG PhL /Edit nein verkettungen sind nicht zwangsmaßen multiplikationen und jup die kettenregel sollte dazu bekannt sein werdet ihr aber sicher schon gemacht haben
16.11.2011, 18:13	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich habe f(x)= u(x) / v(x) f(x)= u(x)* 1/v(x) jetzt müsste doch stehen: f'(x)= u'(x)* 1/v(x) - u(x) * 1/v'(x) oder? aber ich verstehe nicht so genau, wieso da ( - ) steht und irgendwie verstehe ich gerade auch nicht mehr, wie wir bei der Kettenregel und Produktregel von u(z) = (u(v(x)))' auf = u'(v(x)) *v'(x) gekommen sind
16.11.2011, 18:21	PhL	Auf diesen Beitrag antworten »
ok langsamer und ordentlicher: [u(x)/v(x)]' = [u(x)(v(x)^-1)]' = [u'(x)v(x) -u(x){v(x)^-1}'] und der interessante schritt ist: {v(x)^-1}' = -1v'(x)v(x)^-2 = -v'(x)/(v(x)^2) das besagt die kettenregel /edit: ums nicht ganz förmlich auszudruecken besagt die kettenregel "innere ableitung mal aeussere ableitung" also: [f(g(x))]' = g'(x)f'(g(x))
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16.11.2011, 18:31	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
ok die kettenregel habe ich verstanden.. wenn ich habe: f'(x)= u'(z)v'(x) z=v(x) dann steht da also f'(x) = u'(v(x)) v'(x) Und bei der Produktregel habe ich p(x) = u(x)v(x) aber warum muss ich da u'(x) mit v(x) multiplizieren und dann nochmal u(x)v'(x) ?? also : p'(x)= u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
16.11.2011, 18:37	PhL	Auf diesen Beitrag antworten »
nee^^ kettenregel eher missverstanden lies nochmal die kettenregel durch oder konsultier auch wiki ruhig mal dein v(x)^-1 hat eine verkettung in sich bei deinem (v(x)^-1) ist deine innere funktion dein v(x) deine aeussere ist dein (...)^-1 das sollte es klar machen
16.11.2011, 18:40	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
also die frage war ja warum ich bei der produktregel die ableitung der äußeren funktion mit der inneren multiplizieren muss und dann nochmal die ableitung der inneren mit der äußeren? ist das einfach so festgelegt?
16.11.2011, 18:51	PhL	Auf diesen Beitrag antworten »
gut ok alles nochmal in einem: die quotientenregel ist eine direkte folge aus produkt und kettenregel du hast (...beachte die strichsetzung) u(x)/v(x) = u(x)[v(x)^-1] das is laut produktregel = u'(x)[v(x)^-1] + u(x)[v(x)^-1]' so und dann bleibt nur noch [v(x)^-1]' was laut kettenregel = -1v'(x)[v(x)^-2] dein v(x)^-1 hat eine verkettung in sich bei deinem (v(x)^-1) ist deine innere funktion dein v(x) deine aeussere ist dein (...)^-1 -1v'(x)[v(x)^-2] oben eingesetzt ergibt dann u'(x)[v(x)^-1] + u(x)(-1)v'(x)[v(x)^-2] so jetzt braucht man nur noch das ^-1 und ^-2 wieder als bruch zu schreiben: u'(x)/[v(x)] - u(x)v'(x)/[v(x)^2] und dann erweitert man den linken bruch mit [v(x)] um bei beiden bruechen den selben nenner zu erhalten also [v(x)^2] und tadaaaaa herleitung der quotientenregel aus produkt und kettenregel geschafft
16.11.2011, 19:07	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
mir ist zwar noch nicht alles 100%ig klar geworden, aber auf jeden fall bin ich schlauer als davor geworden ;D vielen dank

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