Basis von Komplexen Zahlen

16.11.2011, 17:58	BurroBanton	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von Komplexen Zahlen Meine Frage: Geben Sie Basen von C^2 als C-Vektorraum und als R-Vektorraum an und begru ?nden Sie dies. Meine Ideen: Leider fällt mir dazu gar keine Idee an, noch nichtmal ein Ansatz. Das einzige was ich mir vorstellen könnte ist das die Basis von den beiden Räumen ohne irgendwelche angaben wenn dann nur die Triviale Lösung haben, also den 0 Vektor als Basis
16.11.2011, 18:27	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Komplexen Zahlen Beginne erst einmal damit, die komplexen Zahlen als Vektorraum über den reellen Zahlen aufzufassen, welche Dimension hat C über R? Wie kann man also eine Basis wählen? Dann betrachte den Vektorraum C² über dem Körper C, welche Dimension hat er? Nun kann man den Vektorraum C² über R betarchten, auch hier erst mal die Frag, welche Dimension er hat.
16.11.2011, 19:25	BurroBanton	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Komplexen Zahlen ok ich muss leider gestehen das ich nichts von dem verstehe was du mir grade sagen wolltest... der einzige Vektor wäre dann ja von C v(1)+iv(2) und für R wäre er dann doch rv(1)+rv(2) dadurch wären die 2 Dimensionen doch abgedeckt.
16.11.2011, 22:46	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Komplexen Zahlen Zunächst hat C über R die Dimension zwei, soweit korrekt. Zwei mögliche Basisvektoren wären also (0,1) und (1,0). Was du da mit v(1)+iv(2) meinst ist mir nicht ganz klar, was ist v? Der Vektorraum C² hat über C auch die Dimension 2, wie scaut hier eine Basis aus?
16.11.2011, 23:20	BurroBanton	Auf diesen Beitrag antworten »
naja ich dachte mir vielleicht bring ich das auf die form a+i*b und a,b ersetzte ich durch die Vektoren v(1) bzw v(2) die basis von C wäre dann doch (i,0) und (0,-i) oder?
17.11.2011, 09:08	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sind bei dir denn v(1) und v(2)? Das sollen also irgendwelche Vektoren sein, sind die beliebig oder sollen das die Einheitsvektoren sein? "Die" Basis existiert nicht, eine Basis aber schon. Eine Basis von C über R habe ich dir doch schon gegeben, meinst du nun eine Basis von C² über C? Also einmal ganz von vorne, das wird hier alles etwas kryptisch. 1.) Eine Basis von C über R bilden zum Beispiel die Einheitsvektoren (1,0) und (0,1), C hat über R die Dimension 2. (Man nimmt auch manchmal (1,0) und (0,i), um zu verdeutlichen, dass komplexe Zahlen dargestellt werden können, so ist eine mögliche Linearkombination a * (1,0)+b (0,i)=(a,bi), wobei die Skalare aus R kommen und damit kann jede komplexe Zahl als Linearkombination der beiden Vektoren beschrieben werden. Tatsächlich handelt es sich um eine Ebene, die komplexe Zahlenebene, und diese ist isomorph zu dem R².) 2.) Eine (mögliche) Basis von C² über C wird durch die Vektoren (0,-i) und (i,0) dargestellt, richtig. Die Skalare (der Linearkombinationen) kommen aus C. Was du mit "die Basis von C wäre dann doch..." verstehe ich nicht, die Basis von C über welchem Körper? Über sich selbst hat C die Dimension 1, also findet man keine zwei Basisvektoren. Über R hat C die Dimension 2, es ist aber nicht möglich, mit den beiden Vektoren (0,-i) und (i,0) und Skalaren aus R einen reellen Vektor zu erhalten, denn es ist a(i,0)+b(0,-i)=(ai,-bi), die Vektoren haben also mit Skalaren aus R immer rein imaginäre Einträge.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »