Lebesgue-Integral für nicht messbare Funktionen

16.11.2011, 18:34	bipolarminds	Auf diesen Beitrag antworten »
Lebesgue-Integral für nicht messbare Funktionen Hallo, sei $\begin{eqnarray} (X, \mathfrak A,\mu) \end{eqnarray}$ ein Maßraum. Für einfache $\begin{eqnarray} \mathfrak A \end{eqnarray}$ -messbare Fkt. f wurde das Integral folgendermaßen definiert: $\begin{eqnarray} {\int_{{x}}{f{d{\mu }}}}:= {\sum_{i=n}^{k}{{c}_{{i}}\mu \left({{X}_{{i}}}\right)}} \end{eqnarray}$ Wichtig ist eigentlich nur, dass die $\begin{eqnarray} X_i=f^{-1}(\{c_i\})\in \mathfrak A \end{eqnarray}$ Für beliebige $\begin{eqnarray} \mathfrak A \end{eqnarray}$ -messbare Fkt. $\begin{eqnarray} f:X \rightarrow [0,\infty] \end{eqnarray}$ ex. eine einfache Fkt.folge $\begin{eqnarray} f_n \uparrow f \end{eqnarray}$ (pkt.weise) und $\begin{eqnarray} {\int_{{x}}{f{d{\mu }}}}:=\lim_{n\rightarrow \infty }{\int_{{x}}{{f}_{{n}}{d{\mu }}}} \end{eqnarray}$ ist wohldefiniert nach Satz. Nun frage ich mich: Ist die $\begin{eqnarray} \mathfrak A - (=\mathfrak A - \mathfrak B([0,\infty]) \end{eqnarray}$ -messbarkeit von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ notwendig, oder gibt es einfache Funktionenfolgen (mit X_i^n=f_n^{-1}(\{c^n_i \in \mathfrak A}) die pkt.weise gegen eine nicht- $\begin{eqnarray} \mathfrak A \end{eqnarray}$ -messbare Fkt. $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konvergieren? Dann wäre das Integral ja auch für diese wohldefiniert, oder?
17.11.2011, 15:37	bipolarminds	Auf diesen Beitrag antworten »
in der Klammer steht: mit $\begin{eqnarray} X_i^n=f_n^{-1}(\{c^n_i\}) \in \mathfrak A \end{eqnarray}$ Jemand ne Idee?
17.11.2011, 15:49	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Da es sich um eine monoton aufsteigende Funktionenfolge $\begin{eqnarray} f_n \uparrow f \end{eqnarray}$ handelt, gilt insbesondere $\begin{eqnarray} f(x) = \sup\limits_n f_n(x) \end{eqnarray}$ . Das Supremum abzählbar vieler messbarer Funktionen ist immer messbar.
17.11.2011, 17:31	bipolarminds	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, so ein Satz hat mir gefehlt, dankeschön!

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