Fuer Epsilon ein n einer Folge an bestimmen

16.11.2011, 21:10	Fremaw	Auf diesen Beitrag antworten »
Fuer Epsilon ein n einer Folge an bestimmen Meine Frage: Hallo alle zusammen, Ich habe die folgende Aufgabe Folge $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ sei gegeben durch: $\begin{eqnarray} a_{n} = \frac{n²}{2n²+n} \end{eqnarray}$ a) bestimmen Sieepsilon=1, epsilon=10^{-3}, epsilon=10^{-6} n_epsilon $\begin{eqnarray} \in \mathbb N , sodass \| a_{n} -\frac{1}{2} \| \end{eqnarray}$ < Epsilon für alle n>n_epsilon Meine Ideen: Ich habe das nun soweit umgeformt, dass ich $\begin{eqnarray} \frac{1}{4n+2} \end{eqnarray}$ habe. Kann ich das jetzt einfach nach n umformen, nachdem ich gesagt habe $\begin{eqnarray} \frac{1}{4n+2} \end{eqnarray}$ < epsilon ? Danke schon mal für eure Hilfe LG Frema
17.11.2011, 21:34	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Umformung stimmt nicht! Wie kommst du auf die 4n? Wenn du den Zähler durch $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ dividierst, dann musst du dies auch im Nenner tun --> $\begin{eqnarray} \to \ a_n = \frac 1 {2 + \frac 1 n } \end{eqnarray}$ Diese Umformung ist hilfreich, um den Grenzwert direkt zu berechnen. Man sieht sofort, dass dieser gleich 1/2 sein muss, denn 1/n geht gegen Null. Für den €-Beweis muss hingegen der gegebene Term eingesetzt werden: $\begin{eqnarray} \bigg\| \frac {n^2}{2n^2+n} - \frac 1 2 \bigg\| < \epsilon \end{eqnarray}$ Nun wird für € der angegebene Wert eingesetzt und aus der Ungleichung jener Index N(€) berechnet, ab welchem die Ungleichung erfüllt ist. Hinweis: Die Lösungsmenge muss unendlich sein, denn für den Grenzwert 1/2 müssen unendlich viele Glieder der Folge innerhalb dieser €-Umgebung von 1/2 liegen, ausserhalb demgemäß nur endlich viele. mY+

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