Vektoren: Orthogonale Geraden

16.11.2011, 21:29	IzeCube	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren: Orthogonale Geraden Hello Ich mal wieder Folgende Aufgabe: Bestimmen Sie die Gleichungen zweier verschiedener Geraden $\begin{eqnarray} h_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h_2 \end{eqnarray}$ so, dass die Geraden $\begin{eqnarray} h_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h_2 \end{eqnarray}$ orthogonal zur Geraden g sind und durch den Punkt P (2>0>1) gehen. $\begin{eqnarray} g:\vec{x} =\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich hab ein paar Stunden (4 oder so ) leider gefehlt in dem Kurs und versteh deswegen jetzt nur noch Bahnhof Also ich weiß, dass orthogonal senkrecht bedeutet, also mit nem rechten Winkel drauf. Erst mal kann ich mir gar nicht vorstellen, wie man ne Gerade haben soll, auf der zwei andere Geraden senkrecht stehen sollen, die aber beide durch den gleichen Punkt gehen? Da fehlt mir grad irgendwie das Vorstellungsvermögen für, dass das überhaupt geht! So, orthogonal sind die, wenn $\begin{eqnarray} \vec{a}\vec{b}=0 \end{eqnarray}$ Also hätte ich mir jetzt diese Bedingungen aufgeschrieben: $\begin{eqnarray} \vec{h_1}\vec{g}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{h_2}\vec{g}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{h_1}\neq \vec{h_2} \end{eqnarray}$ Und eben, dass ein Punkt auf der Geraden $\begin{eqnarray} h_1 \end{eqnarray}$ sowie auf der Geraden $\begin{eqnarray} h_2 \end{eqnarray}$ P(2\|0\|1) sein muss, also $\begin{eqnarray} h_1/ \end{eqnarray}$ / $\begin{eqnarray} h_2 \end{eqnarray}$ =2\|0\|1 Damit kann ich aber irgendwie nix anfangen Wenn aber doch schon bei der ersten Bedingung $\begin{eqnarray} \vec{h_1}\vec{g}=0 \end{eqnarray}$ sein muss, dann kann doch $\begin{eqnarray} \vec{h_1} \end{eqnarray}$ nur 0 sein, weil g ja zumindest $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein muss??? Hab auch irgendwas gelesen, dass ich für $\begin{eqnarray} h_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h_2 \end{eqnarray}$ einen Richtungsvektor nehmen, der orthogonal zum Richtungsvektor von der Geraden g ist? Der Richtungsvektor von g ist ja $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aber welcher wäre dann orthogonal dazu? Kann mir irgendwer helfen???
16.11.2011, 22:02	Benz	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn eine Gerade durch einen Punkt gehen soll ist es doch am einfachsten, diesen Punkt als Startvektor zu benutzen. So, damit hättest du die erste Hälfte der Gearden schon einmal. Fehlen jetzt nur noch die beiden verschiedenen Richtungsvektoren der zwei Geraden. Dazu hast du schon richtig gesagt, dass das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren 0 ergeben muss. Nun schau dir den gegebenen Richtungsvektor einmal genau an und überlege mal, wie es am einfachsten ist, dazu einen Vektor zu konstruieren, so dass das Skalarprodukt der beiden 0 ergibt. Kleiner Tipp am Rande: Es ist nicht verboten eine Null im Vektor zu haben
16.11.2011, 22:36	IzeCube	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm Also wenn ich dann sage: $\begin{eqnarray} \vec{h_1}\vec{g}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix})(\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ Kann ich jetzt einfach sagen t=1 und guck dann was ich für a_1, a_2 und a_3 raus bekomme? Dann hätte ich für $\begin{eqnarray} h_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2+a_1 \\ a_2 \\ 1+a_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 10+5a_1 \\ -3a_2 \\ 8+8a_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann hab ich folgendes raus: $\begin{eqnarray} a_1=-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_3=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h_1=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bin mir da aber absolut unsicher, weil ich kann doch nicht einfach sagen $\begin{eqnarray} t=1 \end{eqnarray}$ ??
18.11.2011, 09:21	IzeCube	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir denn keiner helfen?
18.11.2011, 11:56	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
das machst du viel zu kompliziert und soweit ich sehe, ist dein ergebnis auch falsch. du hast schon richtig angefangen, am anfang $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray}$ wenn du nun z.b. $\begin{eqnarray} a_3=0 \end{eqnarray}$ wählst, hast du schon einen richtungsvektor, der das geforderte leistet und damit $\begin{eqnarray} h_1\quad{ }\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+t \cdot\begin{pmatrix} 1 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray}$ analog gehst du bei der 2. geraden vor mit $\begin{eqnarray} a_3\neq 0 \end{eqnarray}$ (es gibt ja beliebig viele geraden, die auf g senkrecht stehen, sie liegen alle in der zu g senkrechten ebene durch P) alternativ könnte man noch die suchen, die auch g schneidet, damit bekämst du den richtungvektor $\begin{eqnarray} \vec{r}=\begin{pmatrix} -1 \\1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ genug der hilfe

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