komplexe Wurzelberechnung

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maraska Auf diesen Beitrag antworten »
komplexe Wurzelberechnung
Guten morgen,
ich habe folgendes Bsp. zu lösen:

Berechne alle (komplexen) dritten Wurzeln von 8!

Ich weiß nun aber nicht, was ich daraus machen soll, mein Ansatz war:



ist das richtig so?

Danke schonmal, lg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexe Wurzelberechnung
Ich würde eher für z einen Ansatz in der Exponentialform wählen.
maraska Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, dann hätte ich:





aber ich weiß nicht, wie ich von hier weiterkommen soll...

danke
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Offensichtlich ist r = |z| und mithin .

Jetzt brauchst du noch die Winkel phi, wo ist.
maraska Auf diesen Beitrag antworten »

ich komm damit noch nicht ganz klar ...

bei ?

nur bei welchem x ist e^x=1 ?

danke schonmal...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von maraska
ich komm damit noch nicht ganz klar ...

bei ?

Nicht ganz. Für .

Jetzt brauchen wir noch ein phi_0 mit .
Das ist offensichtlich für phi_0 = 0 der Fall.

Jetzt mußt du nur schauen, für welche k du unterschiedliche Lösungen bekommst und dann war's das.
 
 
maraska Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn e^phi_0=1 dann müsste das nach jeder weiteren Periode auch stimmen oder nicht?
also immer mit phi_0 + 2*Pi, oder einem beliebigen Vielfachen von 2*Pi?

oder lieg ich da jetzt falsch?

Dann wären meine Lösungen bei e^(2Pi/3), e^(4Pi/3), e^(6Pi/3)

Stehe gerade ziemlich auf der Leitung traurig
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von maraska
Dann wären meine Lösungen bei e^(2Pi/3), e^(4Pi/3), e^(6Pi/3)

Nun ja, da hast du das i vergessen. So muß es lauten: e^(i * 2Pi/3), e^(i * 4Pi/3), e^(i * 6Pi/3), wobei auch e^(i * 6Pi/3) = e^(i * 0) ist.

Jetzt noch den Betrag von z als Faktor davor setzen und fertig.
maraska Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also die 3 Lösungen wären






Aber wie sieht das aus wenn die Angabe statt z.B.: wäre?

Dann hätte ich:



wäre wieder 2.

Sind dann hier die Lösungen:






???

Danke schonmal.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von maraska
Ok, also die 3 Lösungen wären





Abgesehen davon, daß z_2 = z_3 ist, würde ich



bevorzugen.

Zitat:
Original von maraska
Sind dann hier die Lösungen:






Hier ist z_3 = z_4 . Du hast also eine Lösung ausgelassen.

Übrigens kann man für und kürzere Ausdrücke schreiben. Augenzwinkern
maraska Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also




und




gibt es nun beim 2. Beispiel folgende Lösungen:

i, -1, 1 und was ist die letzte? -i?

aber wie kann ich das in der Exponentialform darstellen?

danke
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von maraska
i, -1, 1 und was ist die letzte? -i?

Ja.

Zitat:
Original von maraska
aber wie kann ich das in der Exponentialform darstellen?

Das ist nur stures Einsetzen in eine Formel. Siehe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Wurzeln
maraska Auf diesen Beitrag antworten »

ok, vielen dank, das heißt, die letzte Lösung des 2. Beispiels ist



dankeschön
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Freude
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