Wenn gof surjektiv dann auch g surjektiv?

17.11.2011, 11:07

Chrilo

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Wenn gof surjektiv dann auch g surjektiv?

Hallo

Ich hab eine Frage bei flogender Aufgabe:

Seien M;N und L Mengen und $\begin{eqnarray*} f: M->L , g: N->L \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie wenn gof surjektiv ist, so auch g!

Meine Ansatz ist:

Sei gof surjektiv $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ l $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ L und es existiert ein m $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ L = (gof)(m) = g(f(m))
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ l $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ L und es existiert ein n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N (=f(m)) in N $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ L = g(n)

Also g(f(m)) = g(n) -> also ist g auch surjektiv

Kann man das so stehen lassen?

17.11.2011, 11:59

Duedi

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Die grundlegende Idee ist richtig, der Formalismus ist aber ungenau bzw. falsch.

So ist z. B. $\begin{eqnarray*} g(n) = L \end{eqnarray*}$ schon fast frech Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} g(n) \end{eqnarray*}$ ist ein Element IN $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ . Du musst hier Elemente und Mengen auseinanderhalten.

Ich schreibe dir mal die erste Zeile korrekt hin und du versuchst, weiterzumachen (aber wie gesagt, deine Intuition ist richtig!).

Sei $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ surjektiv. Also gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} l\in L \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} (g\circ f)(m) = l \end{eqnarray*}$ .

17.11.2011, 15:11

Chrilo

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Ok es war nicht meine Absicht die Formalien der Mathematik zu beleidigen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe mit meiner Freundin mal über die Aufgabe gesprochen und sie hat auch einen Vorschlag:

Mein neuer Vorschlag:

Sei $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ surjektiv. Also gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} l\in L \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} (g\circ f)(m) = l \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \forall l \in L \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n \in N \rightarrow g(n) = l \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} (gof)(m) = l \wedge g(n) = l \rightarrow (gof)(m) = g(n) \rightarrow f(m)=n \end{eqnarray*}$

Also surjektiv

Meine Freundin hat versucht das ganze mithilfe einer Abwandlung von Übungsmaterialien zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} gof = g(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(f(x)) = g(y) \end{eqnarray*}$

z.z. g ist surjektiv: $\begin{eqnarray*} g(x) = y \end{eqnarray*}$

Es gilt $\begin{eqnarray*} g(x) = y \end{eqnarray*}$
Insbesondere gilt, dass $\begin{eqnarray*} g(f(x)) = g(y) \end{eqnarray*}$

Für uns beide klingt das aber sehr komisch nur hat unser Übungsleiter die injektivität von f bei gof
nach diesem Schema bewiesen.

17.11.2011, 18:22

Duedi

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Zitat:

Original von Chrilo
Ok es war nicht meine Absicht die Formalien der Mathematik zu beleidigen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe mit meiner Freundin mal über die Aufgabe gesprochen und sie hat auch einen Vorschlag:

Mein neuer Vorschlag:

Sei $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ surjektiv. Also gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} l\in L \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} (g\circ f)(m) = l \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \forall l \in L \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n \in N \rightarrow g(n) = l \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} (gof)(m) = l \wedge g(n) = l \rightarrow (gof)(m) = g(n) \rightarrow f(m)=n \end{eqnarray*}$

Also surjektiv

Nein, du hast hier gerade benutzt, was du zeigen musst (nämlich, dass g surjektiv ist)!

Zitat:

Original von Chrilo
Meine Freundin hat versucht das ganze mithilfe einer Abwandlung von Übungsmaterialien zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} gof = g(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(f(x)) = g(y) \end{eqnarray*}$

z.z. g ist surjektiv: $\begin{eqnarray*} g(x) = y \end{eqnarray*}$

Es gilt $\begin{eqnarray*} g(x) = y \end{eqnarray*}$
Insbesondere gilt, dass $\begin{eqnarray*} g(f(x)) = g(y) \end{eqnarray*}$

Für uns beide klingt das aber sehr komisch nur hat unser Übungsleiter die injektivität von f bei gof
nach diesem Schema bewiesen.

Hier ist x einmal in M und einmal in L, das kann schonmal nicht funktionieren. Du bist jetzt von deiner ursprünglichen Idee abgewichen. Versuche noch einmal, dir genau klarzumachen, wie der Beweis läuft. (Vor allem darfst du nicht die zu zeigende Behauptung verwenden Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

18.11.2011, 12:23

Chrilo

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Okay, schade. Hast du denn vlt. noch einen Tipp für mich. Ich weiß momentan einfach nicht, wie ich an der Stelle weitermachen muss unglücklich

unglücklich

18.11.2011, 12:31

Chrilo

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Ist der Weg vlt. über Kontraposition richtig. also wenn ich als zweites die Annahme aufstelle, g sei nicht surjektiv und ich das dann irgendwie (da bräuchte ich deine Hilfe :-) ) zu einem Widerspruch führe?
Dann hieße das:

$\begin{eqnarray*} \forall l \in L \exists m \in M: g(f(m))\neq l \end{eqnarray*}$

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18.11.2011, 12:41

Chrilo

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Äh sorry ich meinte $\begin{eqnarray*} \forall l \in L \exists n \in N: g(n)\neq l \end{eqnarray*}$

18.11.2011, 12:54

Mulder

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Zitat:

Original von Chrilo
Äh sorry ich meinte $\begin{eqnarray*} \forall l \in L \exists n \in N: g(n)\neq l \end{eqnarray*}$

Wo sollte das denn hinführen?

Zitat:

Original von Duedi
Sei $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ surjektiv. Also gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} l\in L \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} (g\circ f)(m) = l \end{eqnarray*}$ .

Den Anfang hat Duedi dir schon gegeben. Das waren eigentlich schon 95% der Aufgabe. Damit g surjektiv ist, brauchen wir für l ein Urbild in N. Wir wissen, es gibt ein m aus M mit g(f(m))=l. In welcher Menge liegt denn f(m)?

Das Ganze ist so einfach, dass gerade das dich wohl gerade blockiert.

18.11.2011, 14:48

Chrilo

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Zitat:

Zitat: Original von Duedi Sei $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ surjektiv. Also gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} l\in L \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} (g\circ f)(m) = l \end{eqnarray*}$ .
Den Anfang hat Duedi dir schon gegeben. Das waren eigentlich schon 95% der Aufgabe. Damit g surjektiv ist, brauchen wir für l ein Urbild in N. Wir wissen, es gibt ein m aus M mit g(f(m))=l. In welcher Menge liegt denn f(m)? Das Ganze ist so einfach, dass gerade das dich wohl gerade blockiert.

Ich hoffe wirklich, dass das der Gurnd ist, warum ich nicht auf die Lösung komme.

Als neuer Anlauf:

Es heißt ja $\begin{eqnarray*} f:M->N \end{eqnarray*}$ also ist ja f(m) ein Element von N, oder verwirrt

verwirrt

Sei $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ surjektiv. Also gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} l\in L \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} (g\circ f)(m) = l \end{eqnarray*}$ .

Darf man annehmen, dass

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \forall n \in N \exists m \in M : f(m)=n \end{eqnarray*}$

18.11.2011, 15:08

Mulder

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Zitat:

Original von Chrilo
Darf man annehmen, dass

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \forall n \in N \exists m \in M : f(m)=n \end{eqnarray*}$

Das würde doch bedeuten, dass f surjektiv ist. Muss f aber nicht sein. Wir befassen uns mit g.

Ja, f(m) liegt in N. Und das ist dein Urbild. Denn wenn g(f(m))=l ist, dann existiert auch f(m) in N.

18.11.2011, 15:38

mawi

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Zitat:

Das würde doch bedeuten, dass f surjektiv ist. Muss f aber nicht sein. Wir befassen uns mit g.

Ja das habe ich mir schon gedacht....

Ok ich hoffe ich komme jetzt dem ganzen näher:

$\begin{eqnarray*} \forall l \in L \exists m \in M : g(f(m)) = l \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \forall l \in L \exists n \in N : f(m) = l \end{eqnarray*}$

Daraus kann man doch jetzt folgendes folgern:

$\begin{eqnarray*} \forall l \in L \exists n \in N : g(n)=l \end{eqnarray*}$

18.11.2011, 15:56

Mulder

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Zitat:

Original von mawi
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \forall l \in L \exists n \in N : f(m) = l \end{eqnarray*}$

Diese Zeile ist sinnlos.

Und wenn du Chrilo bist, bleib bitte bei einem Account. Entscheide dich.

18.11.2011, 16:14

Chrilo

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Oh sorry das war meine Freundin, wir studieren beide zusammen Mathe auf Lehramt und haben zusammen die EHM Analysis Vorlesung.

Gut vielleicht muss ich einfach mal alles Ordnen:

- Also ich weiß um die surjektivität von g zu beweisen brauch ich ein Urbild,
und zwar von $\begin{eqnarray*} L -> N \end{eqnarray*}$
- Ich weiß das f(m) in N liegt
( Es ist mir nur nicht klar was ich mit der info das f(m) in N liegt anfangen soll.)

18.11.2011, 16:17

Mulder

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Wir sind doch schon längst fertig. Wir wissen, g(f(m))=l (bzw. wir wissen, dass für jedes l ein solches m existiert).

Wir suchen nun für l ein Urbild in N, wir brauchen also ein n aus N, so dass g(n)=l ist.

Und dieses n wählen wir einfach als f(m). f bildet nach N ab. Und g bildet f(m) auf l ab. Fertig.

Das Ganze ist eigentlich wirklich ein Einzeiler.

18.11.2011, 19:10

Chrilo

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Puh, Okay.... verwirrt

verwirrt

Hoffentlich der letzte Ansatz:

Sei $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ surjektiv. Also gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} l\in L \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} (g\circ f)(m) = l \end{eqnarray*}$ .

Es sei $\begin{eqnarray*} f(m) \in N \end{eqnarray*}$ (Damit bestimmte ich das f(m) ein Element aus N ist)
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall l \in L \exists f(m) \in N \end{eqnarray*}$ (Das ist jetzt mein Urbild von l auf N wobei ich für das Element n mein vorher definiertes f(m) genommen habe

So gilt:
$\begin{eqnarray*} \forall l \in L \exists n \in N : g(n)=l \end{eqnarray*}$ (Das ist ja das worauf ich raus will

Ist der Beweis damit fertig oder muss ich noch was zum Schluss schreiben?
Hab mir sowas ausgedacht wie:

So ist $\begin{eqnarray*} f: M->N \end{eqnarray*}$ (f bildet auf N ab und $\begin{eqnarray*} g: f(m) -> l \end{eqnarray*}$ (g bildet auf l ab
Damit ist die Behauptung richtig

18.11.2011, 21:36

Mulder

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Zitat:

Original von Chrilo
Es sei $\begin{eqnarray*} f(m) \in N \end{eqnarray*}$ (Damit bestimmte ich das f(m) ein Element aus N ist)
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall l \in L \exists f(m) \in N \end{eqnarray*}$ (Das ist jetzt mein Urbild von l auf N wobei ich für das Element n mein vorher definiertes f(m) genommen habe

Das alles ist irgendwo völlig sinnlos. Wozu die Annahme "sei f(m) aus N"? Und die Zeile darunter macht erst Recht keinen Sinn. "Für alle l aus L gibt es ein f(m) aus N". Das hast du da jetzt hingeschrieben. Aber das ist doch überhaupt keine Aussage.

Ich habe auch irgendwie den Eindruck, dass du es gerne möglichst kompliziert machen willst.

19.11.2011, 11:33

Chrilo

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Na toll...

Ich glaub ich bin mittlerweile soweit das das alles nur noch geraten ist.
Eigentlich hab ich doch mittlerweile schon alle möglichen Situationen beschrieben.

Zitat:

Meine Ansatz ist:
Sei gof surjektiv $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ l $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ L und es existiert ein m $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ L = (gof)(m) = g(f(m)) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ l $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ L und es existiert ein n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N (=f(m)) in N $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ L = g(n)

Dieser Ansatz wurde ja von Duedi in der ersten Post als grundlegend Richtig nur formell Falsch deklariert.

Aber von dem Ansatz bin ich ja eigentlich gefühlt Lichtjahre von entfernt.

Ohne konkretere Hilfe komm ich hier glaube nicht mehr weiter...

19.11.2011, 11:36

Mulder

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Zitat:

Original von Chrilo
Ohne konkretere Hilfe komm ich hier glaube nicht mehr weiter...

Die komplette Lösung, wirklich 100%, steht schon in diesem Thread, zusammengefasst hatte ich es hier.

Wenn es wirklich IMMER noch nicht klar wird, dann kann ich dir nicht mehr helfen, tut mir leid. Ich weiß ehrlich nichts mehr zu schreiben, sonst würde ich es tun.

Auf wikibooks.org steht der Beweis auch komplett, vielleicht googelst du mal nach

wikibooks komposition faktoren surjektivität

dann sollte es gleich der erste Treffer sein. Ich kann leider nicht direkt dahin verlinken, der Link wird mir dann immer als fehlerhaft angezeigt (obwohl ich ihn nur via Copy&Paste hier reinkopiere, keine Ahnung, was da schief läuft).

Vielleicht hast du es ja auch verstanden und bist nur nicht in der Lage, es formal korrekt wieder zu geben. Ich weiß es nicht.

19.11.2011, 12:17

Chrilo

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Ja prinzipiell habe ich die Logik deiner Aussagen nachvollziehen können.
Nur habe ich leider noch Probleme die Logik formell richtig aufs Blatt zu bekommen.

Ich hoffe das sich das im laufe der Zeit bessern wird verwirrt

verwirrt

Bin ja erst im 1. Semester smile

smile

Werd einfach meinen Übungsleiter nochmal um schrittweise erklärung bitten.

Trotzdem vielen Dank für deine und Duedi's Hilfe Freude

Freude

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