Nullfolge

17.11.2011, 12:09

Birgit13

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Nullfolge

Meine Frage:
Hi, ich soll beweisen, bzw widerlegen ob es sich bei der Folge um eine Nullfolge handelt:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}| < \epsilon |a_{n}| \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Nun gut, also wenn ich die Angabe richtig verstanden habe muss ich entweder eine Folge finden die nicht gegen 0 konvertiert (Gegenbeispiel), oder eben beweisen, dass sie es doch tut.

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}| < \epsilon |a_{n}| \end{eqnarray*}$

Habe ich umgeformt zu:

$\begin{eqnarray*} \frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}| } < \epsilon \end{eqnarray*}$

Wenn ich mir nun die Folge hernehme (selbst ausgedacht):

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n²}{n} \end{eqnarray*}$

Dann wäre a_1 = 1 bzw a_2 = 2 bzw a_3 = 3

Somit ist es keine Nullfolge aber die Division wird unendlich klein , da die Folgeglieder bei DIvison imm kleiner werden:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{1 } =2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2 } =1,5 \end{eqnarray*}$
usw

habe ich das so richtig verstanden... ?

Danke euch allen

17.11.2011, 12:42

klarsoweit

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RE: Nullfolge
Hilfreich für uns ist auch der vollständige Aufgabentext.
Anscheinend geht es um eine Folge mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}| < \epsilon |a_{n}| \end{eqnarray*}$ .
Du sollst jetzt untersuchen, wann diese Folge konvergiert.

Mit vollständiger Induktion kannst du leicht zeigen, daß $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}| < \epsilon^n \cdot |a_1| \end{eqnarray*}$ ist.
Das könnte bezüglich der Konvergenz eine Idee liefern. smile

smile

17.11.2011, 12:46

Cel

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Nein, du hast zwar die Vorgehensweise richtig verstanden, aber $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \to 0 \end{eqnarray*}$ , der Quotient ist eine Nullfolge.

Edit: Huch, klarsoweit macht weiter. Aber dahin wollte ich auch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.11.2011, 12:52

Birgit13

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RE: Nullfolge

Zitat:

Hilfreich für uns ist auch der vollständige Aufgabentext.

Mein vollstaängiger Aufgabentext lautet:

Man entscheide jeweils (Beweis oder Gegenbeispiel), ob (a_n) gegen
Null konvergiert, falls es für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ gibt, sodass für alle
$\begin{eqnarray*} n \in N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}| < \epsilon |a_{n}| \end{eqnarray*}$

Zitat:

Mit vollständiger Induktion kannst du leicht zeigen, daß $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}| < \epsilon^n \cdot |a_1| \end{eqnarray*}$ ist. Das könnte bezüglich der Konvergenz eine Idee liefern. smile

hmm ok, dass heißt also bei der Aufgabe geht es darum, falls es keine Gegenbeispiel gibt die Konvergenz zu beweißen. Ist das so richtig?

mfg

17.11.2011, 13:03

klarsoweit

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RE: Nullfolge

Zitat:

Original von Birgit13
Man entscheide jeweils (Beweis oder Gegenbeispiel), ob (a_n) gegen
Null konvergiert, falls es für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ gibt, sodass für alle
$\begin{eqnarray*} n \in N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ gilt:

Irgendein Gefühl im Bauch sagt mir, daß das nicht 100% richtig abgeschrieben ist.

Zitat:

Original von Birgit13
hmm ok, dass heißt also bei der Aufgabe geht es darum, falls es keine Gegenbeispiel gibt die Konvergenz zu beweißen. Ist das so richtig?

Ja.

17.11.2011, 13:16

Birgit13

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RE: Nullfolge
Ach richtig, (upps) hab das element mit dem "größer gleich" vertauscht.... Forum Kloppe

Forum Kloppe

Habe meine Angabe jetzt angehängt

[attach]21961[/attach]

Also muss ich zeigen, dass die Folge beschränkt bzw Monoton ist danach zeigen, dass sie den Grenzwert gegen 0 hat. verwirrt

verwirrt

Und wenn ich mit der Induktion herahlten will muss ich doch zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}| < \epsilon |a_{n}| \Rightarrow |a_{n+2}| < \epsilon |a_{n+1}| \end{eqnarray*}$

Aber ich komme nicht einmal daruf, du auf deine Umformung von

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}| < \epsilon^n \cdot |a_1| \end{eqnarray*}$

gekommen bist verwirrt

verwirrt

Danke dir

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17.11.2011, 13:58

klarsoweit

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RE: Nullfolge

Zitat:

Original von Birgit13
Also muss ich zeigen, dass die Folge beschränkt bzw Monoton ist danach zeigen, dass sie den Grenzwert gegen 0 hat. verwirrt

verwirrt

Nein, du mußt die von mir genannte Ungleichung zeigen.

Zitat:

Original von Birgit13
Und wenn ich mit der Induktion herahlten will muss ich doch zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}| < \epsilon |a_{n}| \Rightarrow |a_{n+2}| < \epsilon |a_{n+1}| \end{eqnarray*}$

Nein. Ich habe die linke Seite auch nicht behauptet.

Zitat:

Original von Birgit13
Aber ich komme nicht einmal daruf, du auf deine Umformung von

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}| < \epsilon^n \cdot |a_1| \end{eqnarray*}$

gekommen bist verwirrt

verwirrt

Das ist doch egal. Hauptsache ist, daß du die Aussage beweisen kannst. Ich formuliere das noch etwas präziser:

Es gibt ein n_0, so daß $\begin{eqnarray*} |a_{n+n_0}| < \epsilon^n \cdot |a_{n_0}| \end{eqnarray*}$ für n >= 1 .

17.11.2011, 14:31

Birgit13

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RE: Nullfolge
ok nochmal ganz ruhig und von vorne:

Die Aussge konvertiert gegen 0 -> somit kein Gegenbeispiel

Es muss ein Beweis her:

Ich soll jetzt zeigen wann diese Folge konvertiert, desshalb soll ich mit Induktion zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}| < \epsilon^n \cdot |a_1| \end{eqnarray*}$ ist

Anfang:
n=1

$\begin{eqnarray*} |a_2| < \epsilon * |a_1| \end{eqnarray*}$ (Ist korrekt da bei einer Folge gegen 0 das a_n größer sein muss als sein nachfolger.)

Schritt:
So hier stehe ich schon wieder ich muss jetzt zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} |a_{n+2}| < \epsilon^{n+1} \cdot |a_1| \end{eqnarray*}$

Aber was mach ich jetzt....

$\begin{eqnarray*} a_{n+2} \end{eqnarray*}$ ist ja nicht das selbe wie $\begin{eqnarray*} a_{(n+1)+1} \Rightarrow a_{(n+1)} * a_1 \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

verwirrt

17.11.2011, 14:42

klarsoweit

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RE: Nullfolge

Zitat:

Original von Birgit13
Anfang:
n=1

$\begin{eqnarray*} |a_2| < \epsilon * |a_1| \end{eqnarray*}$ (Ist korrekt da bei einer Folge gegen 0 das a_n größer sein muss als sein nachfolger.)

Nein, das muß nicht sein. Die Begründung liegt in der Eigenschaft, die die Folge laut Vorgabe in der Aufgabe hat.

Zitat:

Original von Birgit13
Aber was mach ich jetzt....

$\begin{eqnarray*} a_{n+2} \end{eqnarray*}$ ist ja nicht das selbe wie $\begin{eqnarray*} a_{(n+1)+1} \Rightarrow a_{(n+1)} * a_1 \end{eqnarray*}$

Auch hier hilft die Vorgabe der Aufgabe. Es ist: $\begin{eqnarray*} a_{n+2} < \epsilon \cdot a_{n+1} \end{eqnarray*}$

O.B.d.A. können wir dabei annehmen, daß epsilon = 1/2 und das N(epsilon) = 1 ist.

17.11.2011, 14:52

Birgit13

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RE: Nullfolge

Zitat:

Auch hier hilft die Vorgabe der Aufgabe.

Meinst du damit meine Angabe?

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}| < \epsilon |a_{n}| \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Zitat:

O.B.d.A.

Für welches Synonym steht das?

mfg verwirrt

verwirrt

17.11.2011, 15:22

klarsoweit

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RE: Nullfolge

Zitat:

Original von Birgit13
Meinst du damit meine Angabe?

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}| < \epsilon |a_{n}| \end{eqnarray*}$

Genau.

O.B.d.A. = ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Wenn die Ungleichung für endlich viele n nicht gilt, dann tut das nicht weh. Es geht ja eh "nur" um eine Grenzwertbetrachtung.

17.11.2011, 15:42

Birgit13

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RE: Nullfolge
Ach ich glaub ich weiß jetz was du meinst

(1) $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}| < |a_{n}| * \epsilon \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} |a_{n+2}| < |a_{n+1}| * \epsilon \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun die erste in die zweite einsetze erhalte ich

$\begin{eqnarray*} |a_{n+2}| < |a_{n}| * \epsilon^2 \end{eqnarray*}$

So und wenn ich das lange genaug weiterführe erhalte ich

$\begin{eqnarray*} |a_{n+m}| < |a_{n}| * \epsilon^m \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m >0 \end{eqnarray*}$

Zumindest hab ich das mal angenommen.....

Und nun mit Induktion:
Also zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+m}| < |a_{n}| * \epsilon^m \end{eqnarray*}$

Anfang m=1

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}| < |a_{n}| * q^1 \end{eqnarray*}$ (Ist ja meine Voraussetzung, passt also)

Schritt: m -> m+1

$\begin{eqnarray*} |a_{n+m+1}| < |a_{n}| * \epsilon^{m+1} \end{eqnarray*}$

Nun gilt wie nach meiner Voraussetzung/Angabe:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+m+1}| < |a_{n+m}| * \epsilon \end{eqnarray*}$

Und jetzt kann ich auf der rechten Seite meine Induktionsannamhe einsetzen was ergibt:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+m+1}| < |a_{n}| * \epsilon^m * \epsilon \end{eqnarray*}$

JA und das ist nicht anderes als $\begin{eqnarray*} |a_{n+m+1}| < |a_{n}| * \epsilon^{m +1} \end{eqnarray*}$

hoffe das passt halbwegs....aber ich verstehe noch immer nicht was das ganze mit der Nullfolge zu tun hat.... unglücklich

unglücklich

...

mfg

17.11.2011, 16:00

klarsoweit

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RE: Nullfolge
OK. Das ist soweit in Ordnung. Nun gilt die Vorgabe für jedes epsilon > 0, wenn man nur das N(epsilon) groß genug macht. Insbesondere gilt das auch für epsilon = 1/2 . Halte nun in deiner Ungleichung das n fest und laß m gegen unendlich gehen. Was passiert dann mit der rechten Seite der Ungleichung?

17.11.2011, 16:30

Steffe2361

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RE: Nullfolge

Zitat:

Halte nun in deiner Ungleichung das n fest und laß m gegen unendlich gehen

hmm ok, wenn $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ muss die rechte um ein vielfaches größer werden als die Linke Seite

$\begin{eqnarray*} |a_{n+m}| < |a_{n}| * \epsilon^m \end{eqnarray*}$

Bzw wird dann nicht:

$\begin{eqnarray*} \frac{|a_{n+m}|}{|a_{n}| } < \epsilon^m \end{eqnarray*}$

Dann kann ich das a_n streichen und es bleibt:

$\begin{eqnarray*} |a_{m}| < \epsilon^m \end{eqnarray*}$

aber ich schätze mal du hast das ewtas anders gemeint....

18.11.2011, 08:30

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RE: Nullfolge

Zitat:

Original von Steffe2361
hmm ok, wenn $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ muss die rechte um ein vielfaches größer werden als die Linke Seite

Was soll mir dieser Satz sagen? verwirrt

verwirrt

Laß doch mal in $\begin{eqnarray*} |a_{n+m}| < |a_{n}| * \epsilon^m \end{eqnarray*}$ für epsilon = 1/2 das m gegen unendlich gehen.

21.11.2011, 10:10

Birgit19

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RE: Nullfolge
hi, nochmal

Zitat:

Laß doch mal in $\begin{eqnarray*} |a_{n+m}| < |a_{n}| * \epsilon^m \end{eqnarray*}$ für epsilon = 1/2 das m gegen unendlich gehen.

ok, wenn ich das m gegen undenlich gehen lasse für epsilon ist gleich 1/2 dann wird dieser Bruch doch unendlich klein bzw, daraus folgt das die ganze rechte seite unendlich klein wird oder?

mfg

21.11.2011, 10:23

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RE: Nullfolge
Die Umschreibung von Null mit "unendlich klein" ist auch ganz nett. smile

smile

Ja, die rechte Seite geht gegen Null, so daß also auch der Betrag der Folgenglieder gegen Null geht. Gegen was gehen also die Folgenglieder als solche?

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