Testvorbereitung: Induktionsaufgabe

17.11.2011, 12:14

HansimGlück

Testvorbereitung: Induktionsaufgabe

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+....+n=\frac{1}{8}(2n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Der Induktionsschritt soll sich lt. Aufgabenstellung zeigen lassen. Ich soll kontrollieren, ob die Aussage stimmt oder nicht. Falls die Aussage nicht stimmt, soll ich dies begründen.

Meine Behauptung: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k=\frac{1}{8} (4n^2+16n+4^2) \end{eqnarray*}$

Beim Schritt erhalte ich jedoch: ......= $\begin{eqnarray*} \frac{4n^2+12n+9}{8} \end{eqnarray*}$
Davon ausgehend, dass ich den Schritt korrekt durchgeführt habe, würde ich sagen, dass die obige Aussage falsch ist.

1. Frage: Stimmt das soweit?
2. Frage: Gemäß meinem Schritt ist die Aussage also falsch. Wie "begründe" ich das denn jetzt noch? Habe ich das nicht schon mit dem Induktionsschritt begründet?

17.11.2011, 12:31

HansimGlück

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2. Aufgabe:
http://www.imagebanana.com/view/a1qafsqr/1.jpg

Wäre für diese Induktionsaufgabe nachfolgender Schritt falsch?

Schritt:
$\begin{eqnarray*} (1+x)^2\geq 1+nx \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot mit (1+x) erweitern<br /> (1+x)^{n+1}\geq (1+nx)*(1+x)<br /> (1+x)^{n+1}\geq 1+x+nx+nx^2 \geq 1+(n+1)x \end{eqnarray*}$

Ich habe eine andere Lösung zu diesem Beispiel gefunden, mich würde jedoch interessieren, ob auch diese Vorgehensweise korrekt ist?

Danke im Voraus!

17.11.2011, 12:36

klarsoweit

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RE: Testvorbereitung: Induktionsaufgabe

Zitat:

Original von HansimGlück
Meine Behauptung: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k=\frac{1}{8} (4n^2+16n+4^2) \end{eqnarray*}$

Wie kommst du darauf? verwirrt

Der Beweis bei Aufgabe 2 ist ok.

17.11.2011, 13:14

HansimGlück

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Uhje, sorry. Sehe gerade, dass ich mich bei der Behauptung vertan habe.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k=\frac{1}{8} (2*(n+1)+1)^2=\frac{1}{8} (2n+3)^2=\frac{1}{8} (4n^2+12n+9) \end{eqnarray*}$

Und somit stimmt der Induktionsschritt ... Hammer

Danke

17.11.2011, 13:29

klarsoweit

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OK. Jetzt war ja noch die Frage, ob die Behauptung als solche stimmt.

17.11.2011, 13:30

HansimGlück

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Zitat:

Original von klarsoweit
OK. Jetzt war ja noch die Frage, ob die Behauptung als solche stimmt.

Diese Frage soll ja nur beantwortet werden, falls die Behauptung nicht stimmt. Da diese aber gemäß Induktion stimmt, ist die Fragebeantwortung hinfällig?

17.11.2011, 13:32

René Gruber

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Zitat:

Original von HansimGlück
Diese Frage soll ja nur beantwortet werden, falls die Behauptung nicht stimmt. Da diese aber gemäß Induktion stimmt, ist die Fragebeantwortung hinfällig?

Soso: Hast du mal $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ eingesetzt um zu sehen, ob der (Induktions-)Anfang stimmt?

17.11.2011, 13:40

HansimGlück

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Tatsächlich!

Wenn es nichtmal für n klappt (Induktionsanfang), dann kann es auch nicht n+1 klappen, auch wenn der Induktionsschritt an sich richtig ist?..

17.11.2011, 14:01

klarsoweit

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Genau.

17.11.2011, 14:24

HansimGlück

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Danke

Ich hab hier noch ein weiteres Beispiel, bei dem ich höflich wieder um kurze Bestätigung ersuche, ob richtig oder falsch:

$\begin{eqnarray*} n^2<2^n \end{eqnarray*}$ für n >= 5

Schritt:
$\begin{eqnarray*} (n+1)^2=n^2+2n+1<2^n+2n+1<2^n2=2^{n+1} \end{eqnarray*}$

17.11.2011, 14:32

klarsoweit

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Im Prinzip richtig, wobei ein paar Erklärungen zu den vorgenommenen Abschätzungen nicht schaden könnten.

Ich würde es so machen:

Schritt:
$\begin{eqnarray*} (n+1)^2 = n^2+2n+1 < n^2 + 2n + n = n^2 + 3n < n^2 + n \cdot n = 2n^2 < 2 \cdot 2^n = 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

17.11.2011, 14:35

HansimGlück

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Babysteps !

Danke Augenzwinkern

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