Unendliche Reihe von Produkt

17.11.2011, 14:12

Hansen38

Unendliche Reihe von Produkt

Hallo Leute, ich habe eine Frage und bin bisher nicht fündig geworden.

Seien $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ komplexe Folgen, wobei $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ absolut
konvergiert.

Unter welchen bedingungen an $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert dann

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cdot b_k \end{eqnarray*}$ ?
Es handelt sich nicht, wie es vielleicht auf ersten Blick aussieht,
direkt um ein Cauchy Produkt.

Könnt ihr mir vielleicht ein Stichwort / Satz sagen?
Ich komme selber nicht drauf.

17.11.2011, 14:40

sergej88

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Hallo,

das cauchy produkt brauchst du hier nicht.

Das einfachste Kriterium wäre es zu fordern, dass $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ beschränkt ist.
Dieses solltest du wohl schnell einsehen können, das Satz zu nennen wäre übertrieben.

Einen allgemeinen Satz zu finden hängt davon ab, was bzw. wozu du das brauchst.
Zum beispiel dürfte $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ sogar gegen Unendlich divergieren.
Dazu zum Beispiel
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{n^{1 +\delta}}, \ \ b_n = n^{\sigma}, \delta > 0 \end{eqnarray*}$
Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum \limits_{n=1}^{\infty}a_nb_n \end{eqnarray*}$ konvergiert genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \sigma < \delta \end{eqnarray*}$

mfg

17.11.2011, 14:52

René Gruber

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@Hansen38

Mir ist nicht so richtig klar, was du mit der "absoluten Konvergenz von Folgen" meinst:

Zitat:

Original von Hansen38
wobei $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert.

Sollte es nicht eher

Zitat:

wobei $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} b_n \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert.

heißen, also die absolute Konvergenz der Reihe mit diesen Gliedern aus $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

In dem Fall willst du vielleicht auf das Kriterium von Dirichlet hinaus. Oder eben auf jene Forderung von sergej88, wobei er sicher die Beschränktheit von $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ meint.

17.11.2011, 15:03

sergej88

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Ja a_n und b_n vertauscht.

mfg

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