Äquivalenzbeweis mit relativem Inneren

17.11.2011, 14:42	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzbeweis mit relativem Inneren Hallo ich will folgende Aufgabe lösen: Seien $\begin{eqnarray} A \in \mathbb K^{(m,n)}, b\in \mathbb K^m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P=\{x \in \mathbb K^n \|Ax \leq b \} \end{eqnarray}$ . Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen: a) Es existieren $\begin{eqnarray} x^1,...,x^m \in P \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} A_{j}x^j < b_j \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} j \in \{1,...,m\} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} A_{j} \end{eqnarray}$ bedeutet die j-te Zeile von A. b) Es existiert ein $\begin{eqnarray} x' \in P \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Ax'<b \end{eqnarray}$ . c) $\begin{eqnarray} relint P=\{ x \in \mathbb K^n \|Ax<b \} \end{eqnarray}$ . (Das relative Innere relint P eine Polyeders P ist definiert durch $\begin{eqnarray} x \in relint P:\Leftrightarrow\exists \delta >0: B(x, \delta) \cap aff P\subseteq P \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} B(x,\delta) \end{eqnarray}$ die Kugel um x mit dem Radius $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ bzgl. der 2-Norm bezeichnet.) Ich habe mir überlegt, dass ich zuerst a)->b), dann b)->c) und dann c)->a) zeige. Somit hätte ich ja die Äquivalenz der Aussagen gezeigt. Habe dann mal probiert a) nach b) zu zeigen: Ich müsste ja dann irgendwie von der einen Zeile von A auf die ganze Matrix A kommen (hoffe ihr wisst was ich meine). Aber weiß irgendwie nicht wie ich da rangehen soll. Wäre für ein paar Tipps sehr dankbar. Grüße Lea
19.11.2011, 12:16	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzbeweis mit relativem Inneren Hallo ich bins nochmal. Habe jetzt probiert mein Gedanke, zu zeigen, dass aus a) -> b) aufzuschreiben. aus a) gilt ja Es existieren $\begin{eqnarray} x^1,...,x^m \in P \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} A_{j}x^j < b_j \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} j \in \{1,...,m\} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} A_{j} \end{eqnarray}$ bedeutet die j-te Zeile von A. Das heißt, ich könnte dies doch so für alle Zeilen der Matrix A aufschreiben: $\begin{eqnarray} A_{j}x^j < b_j \Rightarrow A(x^1...x^j)<b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x^1...x^j) \end{eqnarray}$ soll eine Matrix sein, die als Einträge diese Vektoren hat. Setze $\begin{eqnarray} x'=x^1+...+x^j \end{eqnarray}$ . Dann gilt Ax'<b für $\begin{eqnarray} x' \in P \end{eqnarray*}$ Kann das so passen? Leider komme ich bei b)->c) und c)->a) nicht weiter. Hat da jemand einen Tipp für mich. Vielen Dank schon im voraus. Lea

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