"Matrix-Logarithmus"

08.01.2007, 11:18

Sunwater

"Matrix-Logarithmus"

Ich habe folgende Aufgabe:

Sei A eine nilpotente,komplexe (n x n) - Matrix mit $\begin{eqnarray*} A^{l+1} = 0 \end{eqnarray*}$
Zeige, dass dann gilt: mit E, der Einheitsmatrix

$\begin{eqnarray*} E - A = exp \left ( -A - \frac{A^2}{2} - ... - \frac{A^l}{l} \right ) \end{eqnarray*}$

Tja, ich habs mal für ein paar einfache Beispiele durchgerechnet und es stimmt...
Dann hab ich versucht es mit Induktion über l zu beweisen, wobei es mir nicht gelungen ist die Induktionsvorraussetzung sinnvoll einzusetzen...

bräuchte da mal nen Ansatz...

Uns wurde gesagt, dass ist analog zur Logarithmusreihe bei den reellen Zahlen, aber ich konnte das auch noch nicht hilfreich benutzen...

08.01.2007, 15:50

jol2040

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Naja also was mir auffällt, die Argumente in der Exponentialfunktion kann man ja auch so auffassen $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~-\frac{A^k}{k} \end{eqnarray*}$ . Hm naja vielleicht bringt das aber auch nichts.

08.01.2007, 16:18

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \ln{(1-z)} = \sum_{k=1}^{\infty}~\left( - \frac{z^k}{k} \right) \, , \ \ |z| < 1 \end{eqnarray*}$

ist aus der Analysis bekannt. Und mit $\begin{eqnarray*} \varphi(z) = 1-z \end{eqnarray*}$ beachte:

$\begin{eqnarray*} \exp \circ ( \ln \circ \varphi) = (\exp \circ \ln) \circ \varphi \end{eqnarray*}$

Und was ist mit $\begin{eqnarray*} \exp \circ \ln \end{eqnarray*}$ ?

08.01.2007, 16:21

vektorraum

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Hi!

Du kennst sicherlich die Reihe

$\begin{eqnarray*} (\operatorname{id}-A)^{-1}=\sum_{n=0}^\infty~A^n \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{id=Einheitsmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A=(a_{ij}) \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} (n\times n) \end{eqnarray*}$ -Matrix.

Weil A aber nilpotent ist, kann man setzen

$\begin{eqnarray*} (\operatorname{id}-A)^{-1}=\sum_{n=0}^\infty~A^n=\sum_{n=0}^l~A^n \end{eqnarray*}$

Ferner kannst du deine Gleichung als eine Funktion in $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ setzen mit

$\begin{eqnarray*} f(t)=\exp\left(-At-\cfrac{A^2t^2}{2}-\ldots-\cfrac{A^lt^l}{l}\right) \end{eqnarray*}$

Dann ableiten...

Versuchs mal!

08.01.2007, 22:30

Sunwater

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danke - genau so nen Ansatz hab ich gesucht...

mit deinen Bezeichnungen hab ich jetzt raus, dass:

$\begin{eqnarray*} f'(1) = -(id - A)^{-1} \cdot \exp \left( -A - \frac{A^2}{2} - ... - \frac{A^l}{l}\right) \end{eqnarray*}$

d.h. ich wäre fertig, wenn ich zeigen könnte, dass $\begin{eqnarray*} f'(1) = -1 \end{eqnarray*}$ ist.

wie hast du das gemacht?

09.01.2007, 21:43

vektorraum

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Hi!

Ich habs ein bisl anders gemacht. Ich habe $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ und dann die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(t) \end{eqnarray*}$ gebildet. Dann folgt ja nach einigen Umformungen, dass

$\begin{eqnarray*} \cfrac{f'(t)}{f(t)}=-A(\operatorname{id}-At)^{-1} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} f(t)=C\cdot (\operatorname{id}-At) \end{eqnarray*}$

und dann bald die Behauptung.
Hat dir das weitergeholfen???

Edit: Code

10.01.2007, 15:54

Sunwater

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Zitat:

Original von vektorraum

$\begin{eqnarray*} \cfrac{f'(t)}{f(t)}=-A(\operatorname{id}-At)^{-1} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} f(t)=C\cdot (\operatorname{id}-At) \end{eqnarray*}$

den Schluss kann ich nicht ganz nachvollziehen? - steh da sicher gerade auf dem Schlauch... - kannste das nochmal erklären?

aber ansonsten bis zu deiner ersten Gleichung komme ich auch und dann erkenne ich durch den f(0) = id, dass c = 1 ist und die Lösung bekomme ich dann, indem ich t=1 setze...

danke...

10.01.2007, 23:02

vektorraum

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Hi!

Die obere Gleichung kannst du doch ganz einfach lösen, in dem du das ganze mal umstellst. Dann ist doch

$\begin{eqnarray*} \int \cfrac{\dd f}{f(t)}=\int -A(\operatorname{id}-At)^{-1}\dd t \end{eqnarray*}$

gerade die nächste Zeile.

Dabei ist $\begin{eqnarray*} C \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Integrationskonstante

11.01.2007, 09:25

Sunwater

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naja, ich wusste nicht, dass man diese Regel, wenn im Zähler die Ableitung des Nenners steht auch auf Matrizen anwenden kann. Vor allem, weil ja jetzt kein Nenner und Zähler da steht, sondern eine Matrix und eine Inverse...

deswegen bin ich auf das Ergebnis des rechten Integrals nicht gekommen...

aber hoffe die Lösung geht auch so durch...

danke, Sunwater

11.01.2007, 18:04

vektorraum

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Hi!

Du kannst doch das ganze auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \int\cfrac{\dd f}{f(t)}=\int\cfrac{-A}{\operatorname{id}-At}\dd t \end{eqnarray*}$

Dann kannst du, mit den Bedingungen die du an die Funktion und die Matrix oben gestellt hast, das ganze nach der Formel

$\begin{eqnarray*} \int\cfrac{g'(x)}{g(x)}~\dd x=\ln(g(x)) \end{eqnarray*}$

auflösen.

11.01.2007, 18:38

Sunwater

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Zitat:

Original von vektorraum
Hi!

Du kannst doch das ganze auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \int\cfrac{\dd f}{f(t)}=\int\cfrac{-A}{\operatorname{id}-At}\dd t \end{eqnarray*}$

genau das wusste ich nicht... - weil es hier ja um Matrizen und nicht um reelle Zahlen geht.

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