Bernsteinpolynome: Koordinatentupel-Berechnung, lineare Unabhängigkeit

Neue Frage »

rathet Auf diesen Beitrag antworten »
Bernsteinpolynome: Koordinatentupel-Berechnung, lineare Unabhängigkeit
Meine Frage:
So erstmal hallo,
ich stehe vor der folgenden Frage:
Wir betrachten den Vektorraum der reellen Polynome vom Grad höchstens 4.

Zeigen Sie, dass die durch



definierten Bernstein-Polynome eine Basis des Vektorraumes bilden.

Geben Sie für die Polynome mit die Koordinatentupel bezüglich der Basis an.


Meine Ideen:
So meine Überlegungen hierzu wären also das linear unabhängig sein müssen um eine Basis von bilden zu können d.h es muss gelten . und diese Gleichung soll nur lösbar durch die triviale Lösung sein.

Eingesetzt sind die Polynome dann:







Dies führt auf die Matrix:

wie man unschwer erkennen kann folgt aus dieser Matrix: Linear Unabhängig.

Hierzu wäre meine Frage ob dieses Vorgehen korrekt ist und ob ich damit Bewiesen habe das eine Basis von ist.

Zum zweiten Teil der Frage hab ich mir überlegt das wenn ist. dann hat ja nur einen Anteil von 1 in "1"-Richtung dh. dann ?
und hier bin ich mir jetzt unsicher ist dies jetzt das Koordinatentupel? hier würde ich wenn ja/nein um eine Darstellung freuen die mir klar macht warum ja/nein.

Mein anderer Gedanken war dann hierzu das man

in die Matrixgleichung einsetzten muss in Form von:


Dies führt dann auf die Lösung: .
Hier wäre das Koordinatentupel dann entsprechend:
hmm mit latex n bisschen schlecht lesbar aber die werte stehen ja oben^^.


Meine eigentlich Frage ist jetzt eigentlich was genau ist jetzt hier das Koordinatentupel und wieso? und natürlich ob die restlichen Gedankengänge in Bezug auf die Fragestellung richtig sind.

Mfg rathet


P.S.: Hab jetzt ein wenig weit ausgeholt ich hoffe es liest jemand durch.^^
rathet Auf diesen Beitrag antworten »

anstatt der 3 in der Matrix müsste 4 stehen dies führt dann auf das viel ansehnlichere (vermeintliche) Koordinatentupel bei der 2 lösung.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo rathet,
ein technischer hinweis: du hast bei den latexbefehlen immer "vmatrix" statt
"pmatrix" geschrieben. Ändere das bitte, damit man die matrizen und vektoren
besser erkennt. (kann man auch noch nachträglich editieren)
gruss ollie3
rathet Auf diesen Beitrag antworten »

wie mach ich das? bei Edit kommt immer: "Sie können Beiträge nur innerhalb von 15 Minuten, nachdem Sie sie verfasst haben, bearbeiten."

aber für die Zukunft welche klammern soll ich für die Matrizen und welche für die Vektoren benutzen?
oder ?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo rathet,
sowohl für die matrizen sowohl für die vektoren benutzt man die runden klammern, die striche benutzt man nur für determinanten.
übrigens ist der erste teil von deiner aufgabe richtig, nur man müsste die
matrix korrekterweise mit (a,s,d,f,g)multiplizieren und dann gleich 0 setzen.
rathet Auf diesen Beitrag antworten »

d.h. formal korekt wäre für

?
 
 
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo rathet,
ja. Freude
rathet Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke ollie3 jetzt ist nur noch die Frage offen ob für das

verlangte Koordinatentupel:

oder richtig ist und wieso?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo rathet,
deine koordinatentupel sind beide nicht richtig, für den teil der aufgabe musst
du wieder ein gleichungssystem lösen, du kannst aber die gleiche matrix verwenden, nur diesmal sie nicht gleich 0 setzen sondern so, dass das mit
den koeffizienten stimmt. Jetzt überleg mal weiter ...
gruss ollie3
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo rathet,
habe übersehen, du hattest das in deinem ersten post ja schon ausgerechnet,
das war auch richtig (a=1, s=4/3 ...). Dann müsstest du die gleiche berechnung
noch für q(x) und r(x) durchführen.
gruss ollie3
rathet Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke und was "bedeutet" dieses Koordinatentupel jetzt? ist das jetzt im übertragenen Sinn der Ortsvektor von p(x)=1 oder was muss ich darunter verstehen?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo rathet,
man kann sich das ganze wie ein basiswechsel in einem vektorraum vorstellen, nur
das die "vektoren" in diesem fall polynome sind.
gruss ollie3
rathet Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke für die Hilfe olli3
Mfg rathet
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »