Potenzreihen, Konvergenzradius/Intervall

17.11.2011, 16:12

Matheanfänger88

Potenzreihen, Konvergenzradius/Intervall

Meine Frage:
Guten Tag,

beschäftige mich schon den halben Tag damit, finde aber nirgends eine passende Erklärung:

Also als Potenzreihe gilt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^n a_n(x-x0)^n \end{eqnarray*}$

Nun habe ich folgende Reihe: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{n} }{n} \end{eqnarray*}$

Nehme ich das Wurzelkriterium bekomme ich 1 raus, was gleichzeitig mein Konvergenzradius ist, denn es gibt folgende Möglichkeiten diesen auszurechnen:

Entweder ich wende das Wurzel- oder Quotientenkriterium an dann gilt:
für lim n --> oo = 0 --> Radius r = oo
für lim n --> oo = oo --> Radius r = 0
für lim n --> oo = p --> Radius r = 1/p

oder ich mache es nach Cauchy und Hadamard, dann bekomme ich direkt den Radius raus, ohne diese obigen Umformungen durchnehmen zu müssen.

Jedoch stellt sich mir eine Frage:

Wie bekomme ich das Konvergenzintervall für solch Aufgaben heraus? Und wie berechne ich bzw. sehe ich, ob meine Potenzreihe nun
- auf dem soeben errechneten Intervall
- oder überall
- oder nirgends
konvergiert?

Ich weiß, dass es in den Mathebüchern steht, aber nur als - für Matheanfänger - relativ unverständliche Formeln.

Könnte mir das einer anhand eines Beispiels erklären?

Wäre sehr, sehr nett, danke!

Meine Ideen:
Meine bisherigen Ideen habe ich in die Fragestellung miteingebaut, weil das alles zusammenhängt.

mfg

17.11.2011, 16:20

René Gruber

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Zitat:

Original von Matheanfänger88
Wie bekomme ich das Konvergenzintervall für solch Aufgaben heraus?

Im Fall $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ konvergiert die Potenzreihe nur im Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , im Fall $\begin{eqnarray*} r=\infty \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

In allen anderen Fällen liegt das Konvergenzintervall symmetrisch um den Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ . Hast du also Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ berechnet, so ist das Konvergenzintervall gleich dem offenen Intervall $\begin{eqnarray*} (x_0-r,x_0+r) \end{eqnarray*}$ zuzüglich ggfs. der Randpunkte $\begin{eqnarray*} x=x_0-r \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x=x_0+r \end{eqnarray*}$ . Die Zugehörigkeit letzterer beiden Punkte zum Konvergenzintervall bleibt Einzeluntersuchungen der entsprechenden Konvergenz/Divergenz vorbehalten.

17.11.2011, 16:32

Matheanfänger88

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Danke schon mal für deine schnelle Antwort!

Das heißt, wenn mein Intervall dann [-1, +1) beträgt, dann füge ich diese 2 Zahlen in meine Reihe und prüfe diese neue Reihe mit den eingesetzten Werten nochmal auf konvergenz/divergenz?

Mein Problem ist, ich verstehe nicht was du mit (x0 - r, x0 +r) meinnst. Ich weiß zwar was das r bedeutet, aber das x0?

Könntest du mir das Anhand der obigen Reihe erklären??

17.11.2011, 16:39

René Gruber

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Seltsame Frage: DU hast doch das $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ eingeführt, indem du die Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$

betrachtest! Insofern verstehe ich diese deine Nachfrage nicht. unglücklich

Im Fall der Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{n} }{n} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} (x-0)^n \end{eqnarray*}$

ist natürlich $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ zu setzen.

17.11.2011, 16:39

Matheanfänger88

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Ah ich glaube, ich habe es verstanden:

x0 ist mein Entwicklungspunkt, also 0 - 1 und 0 + 1, das ist dann mein Intervall, richtig?

17.11.2011, 16:47

René Gruber

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Ja, richtig (unsere Beiträge haben sich wohl überkreuzt).

Es verbleibt die Einzelfalluntersuchung der Konvergenz für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ,

sowie für $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ , das ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray*}$ .

17.11.2011, 16:53

Matheanfänger88

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Ok, jetzt hab ich alles verstanden, danke dir!

PS: Ja, unsere Texte wurden in etwa zur gleichen Zeit gepostet! unglücklich

mfg

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