Messbarkeit zeigen

17.11.2011, 18:37

Jan1988

Messbarkeit zeigen

Meine Frage:
Hallo zusammen!

Kurze Frage zu einer Übungsaufgabe:
Es sei $\begin{eqnarray*} ( \Omega,A) \end{eqnarray*}$ ein Messraum und $\begin{eqnarray*} f,g: \Omega \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie $\begin{eqnarray*} \frac{f}{g} \end{eqnarray*}$ ist messbar, falls $\begin{eqnarray*} g(x)\neq0 \forall x\in \Omega \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Reicht es, folgendes auszusagen?
f und g sind messbar.
Die Abbildung $\begin{eqnarray*} I: g \Rightarrow \frac {1}{g} \end{eqnarray*}$ ist stetig und weil stetige Funktionen messbar sind und die Komposition von messbaren Funktionen auch messbar ist, folgt das Gewünschte.

Schon jetzt vielen Dank für eure Hilfe!!

18.11.2011, 03:35

juffo-wup

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Dein Beweis für die Messbarkeit von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{g} \end{eqnarray*}$ stimmt, wobei ich anmerken möchte, dass man im Allgemeinen vorsichtig mit der Aussage 'Die Komposition messbarer Funktionen ist messbar' sein sollte, es hängt ja immer von den Sigma-Algebren ab bezüglich derer die Funktionen messbar sind.
Nun fehlt ja noch der Beweis der Messbarkeit des Produktes von f und 1/g.

18.11.2011, 12:00

Jan1988

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Ok, den Beweis für das Produkt haben wir und bzgl. der Sigma-Algebra müsste es eigentlich auch laufen. Vielen Dank! Freude

18.11.2011, 12:17

Gastmathematiker

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RE: Messbarkeit zeigen

Zitat:

Original von Jan1988
Die Abbildung $\begin{eqnarray*} I: g \Rightarrow \frac {1}{g} \end{eqnarray*}$ ist stetig und weil stetige Funktionen messbar sind und die Komposition von messbaren Funktionen auch messbar ist, folgt das Gewünschte.

Nein, das stimmt so überhaupt nicht. Wieso sollte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{g} \end{eqnarray*}$ stetig sein? In einem allgemeinen Maßraum ist Stetigkeit allgemein nicht einmal definiert.

18.11.2011, 12:24

Jan1988

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RE: Messbarkeit zeigen

Zitat:

Original von Gastmathematiker

Zitat:

Nein, das stimmt so überhaupt nicht. Wieso sollte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{g} \end{eqnarray*}$ stetig sein? In einem allgemeinen Maßraum ist Stetigkeit allgemein nicht einmal definiert.

Hm, schade. traurig

Alternativer Lösungsvorschlag?

18.11.2011, 14:22

Gastmathematiker

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RE: Messbarkeit zeigen
Zuerst einmal wäre es interressant, was genau die Vorraussetzungen sind, also welches Maß betrachten wir auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , das Borel- oder das Lebesgue-Maß und welche Aussagen hattet ihr dazu schon in der Vorlesung?

18.11.2011, 16:10

gonnabphd

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Zitat:

Original von Gastmathematiker
[quote]Original von Jan1988
Die Abbildung $\begin{eqnarray*} I: g \Rightarrow \frac {1}{g} \end{eqnarray*}$ ist stetig und weil stetige Funktionen messbar sind und die Komposition von messbaren Funktionen auch messbar ist, folgt das Gewünschte.

@Gastmathematiker: Ich glaube, du hast nicht ganz genau gelesen.
Die Abbildung

$\begin{eqnarray*} I: \mathbb C^\ast \to \mathbb C, \quad g\mapsto \frac1g \end{eqnarray*}$

ist tatsächlich stetig, wie von Jan behauptet. Damit kann man dann auch folgern, dass

$\begin{eqnarray*} I \circ g = \frac1g \end{eqnarray*}$

messbar ist, falls g messbar und $\begin{eqnarray*} \ne 0 \end{eqnarray*}$ ist.
Mehr wurde mE nach nicht behauptet.

19.11.2011, 02:10

juffo-wup

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Genau so habe ich das auch verstanden.

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