Absolute Konvergenz/Konvergenz einer Summe

17.11.2011, 18:54	maraska	Auf diesen Beitrag antworten »
Absolute Konvergenz/Konvergenz einer Summe Abend, Zu bestimmen ist für welche reellen Werte b die folgende Summe absolut konvergent und für welche Werte sie konvergent ist: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^{b-1} } \end{eqnarray}$ ich habe mal umgeformt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n(-1)^n}{n^{b} } \end{eqnarray}$ weiß aber jetzt nicht weiter. Danke schonmal
17.11.2011, 23:04	Calahan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Absolute Konvergenz/Konvergenz einer Summe Mit dem Cauchy'schen Verdichtungskriterium lässt sich die Frage der absoluten Konvergenz klären. Um dann noch zu klären wann die Reihe konv. aber nicht abs. konv ist, könnte das Leibnizkriterium nützlich sein.
18.11.2011, 00:25	maraska	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ja an das Leibniz-Kriterium habe ich bereits gedacht. Da komme ich auf b>=2 für Konvergenz. Jedoch weiß ich nicht, wie ich das Cauchysche Verdichtungskriterium anwenden kann. danke
18.11.2011, 10:27	Calahan	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Untersuchung der absoluten Konvergenz betrachtest Du ja $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty\left\|\frac{(-1)^n}{n^{\alpha}}\right\|=\sum_{n=1}^\infty\frac 1{n^{\alpha}}. \end{eqnarray}$ Laut Cauchy'schem Verdichtungskriterium hat diese Reihe das gleiche Konvergenzverhalten wie die 'verdichtete' Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \left(2^{(1-\alpha)}\right)^n, \end{eqnarray}$ die als geometrische Reihe nun alles offenbart.

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