Funktionenschar

17.11.2011, 21:20

planck1885

Funktionenschar

Hi,

ich habe hier einige Aufgaben bei denen ich nicht weiterkomme.

Die Graphen einer ganzrationalen Funktionenschar zweiten Grades gehen durch die Punkte P_1(2|0) und P_2(0|4).

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Funktionenschar.

b) Welcher Graph der Funktionenschar geht durch den Punkt Q(3|1)?

Meine Idee(-n):

Eine Funktion 2. Grades hat ja die Form:

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$

Man könnte dann ja zwei Gleichungen aufstellen und durch einsetzen und umformen auf eine Gleichung kommen, jedoch wie ist dort der Parameter enthalten? Wäre das in diesem Fall a?

Wäre echt nett, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.

17.11.2011, 22:20

blutorange

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RE: Funktionenschar
Wie du sagtest, Punkte in ax^2+bx+c=y einsetzen:

(I) 0=4a+2b+c
(II) 4=0a+0b+c

Also 2 Gleichungen, 3 Unbekannte. Was weißt du also über die Lösungen dieses LGS?
Denk erstmal nicht an die Aufgabe, sondern schreib die Lösungen obigen Gleichungssystem mal hin.

Und dann denk nochmal an die Gleichung zurück. (Funktionenschar, aha, also mehrere Möglichkeiten für die Parameter/Unbekannte!)

17.11.2011, 22:29

planck1885

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Danke erstmal.

(II) 4=c

Dies setzte ich in (I) ein und löse diese Gleichung dann nach a auf.

0=4a+2b+4

-1-0,5b=a

So, wenn ich aber nun a und c in (II) einsetze, dann kürtzt sich b komplett raus.

0=4(-1-0,5b)+2b+4

0=-4-2b+2b+4

0=0

Und wie gehts jetzt weiter?

17.11.2011, 23:30

blutorange

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Zitat:

So, wenn ich aber nun a und c in (II) einsetze, dann kürtzt sich b komplett raus.
0=4(-1-0,5b)+2b+4
0=-4-2b+2b+4
0=0

Dass ist der Sinn des Gleichungslösen. Du hast 2 Gleichungen und 3 Unbekannte. Also gibt es i.Allg. unendlich viele Lösungen, wobei eine der Unbekannten der Parameter für diese Lösungen ist.

Wenn du a und c richtig bestimmt hast, muss b sich ja rauskürzen und die Identität 0=0 dastehen. a und c lösen ja das LGS. Sonst hättest du was falsch gemacht.

(Bem.: die Lösungen dieses LGS, bilden eine Gerade, wenn man sie zeichnet im a-b-c-Diagramm.)

Zitat:

Und wie gehts jetzt weiter?

Du erkennst, dass du fertig bist. Jedenfalls mit Teil a).
Ich fasse nochmal zusammen: Du hast rausbekommen, dass:

c=4. a=-1-b/2 sind Lösungen des LGS, egal, was du für b einsetzt.
Also sind alle Parabeln mit diesen Parametern:
f(x)=ax^2+bx+c = (-1-b/2)x^2+bx+4
Parabeln, die durch die Punkte P_1 und P_2 gehen.

Und zu b), dass sollte jetzt eigentlich kein Problem mehr sein? f(x)=y soll durch (3|1) gehen, also?

18.11.2011, 08:02

planck1885

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Wie wäre denn nun die Ableitung der Funktion?

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-bx-2x \end{eqnarray*}$

18.11.2011, 09:32

blutorange

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f(x)=ax^2+bx+c = (-1-b/2)x^2+bx+4

Ableitung: f'(x)=2ax+b+0c
In die allgemeine Form also die Werte für a,b,c einsetzen.
f'(x)= (-2-b)x+b