BEstimmen von Basen |
| 29.06.2004, 19:25 | r0b | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
| BEstimmen von Basen habe mal eine Frage, esbrennt, da ich Morgen die Klausur schreibe. Ich hab Vektoren gegeben, und soll ihre Basis bestimmen. Wenn es sich um Zahlen handlen würde wär ich sicher nicht so verwirrt. Naja ich schreib einfach mal die Aufgabe hin: ___________________________________________________________ Es seien b1, b2, b3, b4 linear unabhäängige Vektoren eines |R Vektorraumes V. Ferner seien die Vekoren u1 :=b1 + b2 u2 :=b1 + b3 u3 :=b3 - b1 u4 :=b1 + 2*b2 u5 :=b3 + b4 und die Unterräume U:=<u1, u2, u3> und W:=<u4, u5> definiert. 1.)Bestimmen sie jeweils mit Nachweis eine Basis von U, W, UnW (Schnitt) und U+W 2.) Bestimmen sie ihre Dimension ______________________________________________________ Angesetzt habe ich erstmal <U> aufzuschreiben, dann <W> jedoch weiß ich nicht wirklich was mir das aufgeschriebene jetzt sagt, und wie ich umstellen muss, das ich ein Ergebnis erhalte. *Amverzweifeln* Die Lösungen habe ich.. aber ich verstehe nicht wie ich darauf komme. Soll ich die Lösungen posten ? Danke r0b |
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| 29.06.2004, 21:04 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
RE: BEstimmen von Basen
Seit wann weißt du, dass du morgen Klausur schreiben wirst? Seit wann weißt du, dass diese Art von Berechnungen dich vewirrt? Gruss, SirJective 
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| 29.06.2004, 22:07 | r0b | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
| ich weiß das... schon länger Huhu, danke für deine Hilfe erstmal. Ich weiß das natülich schon länger... Aber eine Beispielaufgabe zu Basen in dieser Art sehe ich zum ersten mal... 
Grüße, r0b |
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| 29.06.2004, 22:26 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
| RE: BEstimmen von Basen Na dann woll'n mer mal...
Das sagt uns schonmal, dass V mindestens vierdimensional ist 
Weisst du, was die Schreibweise W:=<u4, u5> bedeutet? Kannst du aufschreiben, wie diese Menge W aussieht?
OK, ein Erzeugendensystem von U und W haben wir ja schon - oder? Da müssen wir nur noch schauen, ob u1,u2,u3 linear unabhängig sind, und ob u4,u5 linear unabhängig sind. Wie machen wir das?
Die hast du, sobald du die Basis gefunden hast.
s.o.: Kannst du hier aufschreiben, was U (nicht <U>!) ist? Eine Basis ist definiert (oder kann definiert werden) als ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Wir haben die Erzeuger von U: u1 :=b1 + b2 u2 :=b1 + b3 u3 :=b3 - b1 Wenn wir nun prüfen wollen, ob die schon linear unabhängig sind, nehmen wir an, wir hätten drei reelle Zahlen a,b,c, die die Gleichung a*u1 + b*u2 + c*u3 = 0 erfüllen. Wir rechnen aus, was wir nun über diese drei Zahlen aussagen können. Erstmal setzen wir die Definition der u_i ein: a*(b1+b2) + b*(b1+b3) + c*(b3-b1) = 0 (a+b-c)*b1 + a*b2 + (b+c)*b3 = 0 Da nun b1,b2,b3 linear unabhängig sind, ist also a+b-c=0 a=0 b+c=0 Dieses Gleichungssystem lösen wir und erhalten als einzige Lösung: a=b=c=0. Damit wissen wir, dass {u1,u2,u3} eine Basis von U bildet. Analog rechnest du das für W aus. Für U n W wirds interessanter. Wie sehen denn die Punkte in dieser Schnittmenge aus? |
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| 29.06.2004, 22:56 | r0b | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
Hi, erstmal vielen Dank. Leider muss ich bald ins Bett, habe aber Morgen bevor ich los muss noch eine Std Zeit. ZUnächst mal verusche ich auf dein heranführen an die Lösung einzugehen 
:
Die Menge W wird definiert als die Menge die alle von u_4, u_5 erzeugten Linearkombinationen enthält.
Hmm müsste: Summe(a_i*u_4, i=1,n) + Summe(b_i*u_5,i=1,n) sein
Ja, U bzw. W sind die Erzeugendensystem von <U>, <W>
Nach Aufgabenstellung ist U ein Unterraum, also nicht leer und abgeschlossen bzgl Addition und S-Multiplikation. Zudem ist U ein erz. System z.Z. ist noch, das es minimal ist, und eine max. Lin. unabh. TM von V
Sry, ich weiß nicht wie ich bei einer Schnittmenge umformen etc. kann. Bitte hilf mir noch ein bisschen 
Nochmal vielen Dank. r0b |
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| 29.06.2004, 23:07 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
Richtig.
Unschön. W ist die Menge aller Vektoren, die sich so darstellen lassen: a_1*u_4 + a_2*u_5, mit a_1 und a_2 reell.
Nein, U ist der erzeugte Raum, {u1,u2,u3} ist das Erzeugendensystem.
Ja, U ist ein Unterraum.
Dito... ersetze U durch {u1,u2,u3}. Ansonsten richtig.
Die Schnittmenge von U und W ist gegeben durch alle Vektoren in V, die sowohl in U als auch in W liegen, die sich also so darstellen lassen v = a_1*u_1 + a_2*u_2 + a_3*u_3, a_1,2,3 reell und gleichzeitig auch so v = a_4*u_4 + a_5*u_5, a_4,5 reell. Setzt du die beiden Gleichungen ineinander ein, und setzt darin die Definition der u_i ein, kannst du wieder auf die Form (...)*b_1 + ... + (...)*b_4 = 0 umformen, und erhältst ein Gleichungssystem, das du nach a_1,2,3,4,5 auflöst. Es genügen hier die Lösungen für a_4,5 (vermutlich abhängig von einem oder zwei Parametern), weil du damit alle Elemente des Schnitts angeben kannst: v in U n W genau dann wenn v = a_4*u_4 + a_5*u_5, wobei a_4,5 die Lösung des Gleichungssystems sind. Je nachdem ob du keinen, einen oder zwei Parameter erhalten hast, suchst du nun 0, 1, oder 2 linear unabhängige Erzeuger. |
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