Multilinearität, Ableitung der Determinante

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martha.1981 Auf diesen Beitrag antworten »
Multilinearität, Ableitung der Determinante
In einem Beweis vor meiner Nase wird ein Schritt gemacht, den ich nicht verstehe:

Z(t) ist eine nxn Matrix.

Es heißt dort



wobei die die Spalten der Matrix sind.

Wieso ist das so?

Grüße,

m
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Matrix Z kann man mit einer Matrix C transformieren gemäß . Die transformierte Matrix hat offenbar die gleiche Determinate wie Z, denn



Bekanntlich kann man immer eine Transformation C derart finden, dass Z' diagonal wird, also



Die transformierten Vektoren (=neue Zeilen) stehen also alle senkrecht und spannen einen n-dimensionalen Quader auf. Daraus folgt



Die Ableitung dieses Produktes ergibt nach der Produktregel den gewünschten Ausdruck. Im 3D-Fall hätte man also z.B.

Formel (*)

w.z.b.w.
------------------------
Übrigens ist der Satz auch anschaulich klar, denn die Determinante ist geometrisch das Volumen des n-dimensionalen Parallelogrammes, das durch die Vektoren aufgespannt wird. Im 3-Fall kann man dieses 3D-Parallelogramm (wie oben beschrieben) zu einem volumengleichen Quader transformieren, was der Diagonalisierung entspricht. Dessen Volumen ist , wobei die Zahlen geometrisch die Länge, Breite, Höhe des Quaders sind. Hängen letztere von einem Parameter t ab, ergibt die Ableitung des Volumens=Länge x Breite x Höhe natürlich die Formel (*)
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ehos
Bekanntlich kann man immer eine Transformation C derart finden, dass Z' diagonal wird, also ...


@Ehos: Ich muss dir hier widersprechen: Nicht jede Matrix ist diagonalisierbar.

Aber selbst wenn man "dass Z' diagonal wird" ersetzt durch "dass Z' Jordan-Normalenform hat" läuft man mit diesem Ansatz in kleinere Probleme hinein.
Denn man kann zwar für jedes t so ein C(t) (C ist i.A. von t abhängig) finden, so dass



gilt; aber nachzuweisen, dass C überhaupt diff'bar ist, bzw. dass die Eigenwerte diff'bar von t abhängen führt einen dann auf unnötige Umwege.
Ausserdem verschleiert das gewissermassen den Grund, weshalb die Ableitung hier so aussehen muss, wie sie aussieht.

Die Aufgabe kann man schon alleine aus der Multilinearität der Determinante als Abbildung folgern (und beweist damit die analoge Aussage für alle solchen Abbildungen).

@martha: Ich würde dir folgenden Weg vorschlagen.
Erinnere dich an die Definition der Ableitung



Man kann nun die Differenz umschreiben zu



nun setze das oben in den Differenzenquotienten ein und verwende die Multilinearität der Determinante, um die Formel aus deinem Ausgangspost zu erhalten.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@gonnabphd
So ganz zufrieden war ich mit meiner Argumentation auch nicht - erstens weil (wie du richtig sagtst) nicht jede Matrix diagonalisierbar ist, zweitens weil der Beweis den Umweg über Transformationen macht. Dein direkter Weg ist besser. Ich schreib's für den Fall n=3 nochmal übersichtlich auf:
---------------------
Man entwickelt in die 3 Vektoren in einer Taylorreihe:



Damit kann man auch die Determinante als Taylorreihe entwickeln (z.B. für n=3)



Mit den allgemeinen Gesetzen über Determinante ist klar (Multilineraität), dass man die Summanden mit t einzeln herausziehen kann. Wenn man nur die linearen Glieder "mitnimt", hat man in 1.Ordnung



Das lineare Glied dieser Taylorentwicklung ist (ohne den Faktor ) gerade die erste Ableitung der Determinante nach dem Parameter t. Das war zu beweisen.
martha.1981 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahaa. Un ich zerbrech mir den Kopf mit Spielereien.

Danke!

m
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