Bild und Kern einer nicht quadratischen Matrix

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axee Auf diesen Beitrag antworten »
Bild und Kern einer nicht quadratischen Matrix
Meine Frage:
Hallo zusammen,

Ich stehe mächtig auf dem Schlauch. Ich muss von folgender Matrix

1 -2
-1 2
2 -4

das Bild und den Kern berechnen. Wie komme ich da auf die Lösung?

Meine Ideen:
Bei einer quadratischen Matrix würde ich nicht so auf dem Schlauch stehen, was den Kern betrifft. Auflösen des Gleichungssystems nach 0 (Ax = b) und dann auflösen => Lösung wäre der Kern. Aber bei dieser nicht quadratischen Matrix stehe ich wie bereits erwähnt mächtig auf dem Schlauch... :-)
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern einer nicht quadratischen Matrix
Naja, man sieht hier relativ schnell, dass der zweite Zeilenvektor das (-1) fache des ersten ist und der dritte Zeilenvektor das 2-fache des ersten, ein Schritt mit Gauß führt also auf .

Jetzt sollte sich der Kern der Abbildung, die durch die Matrix repräsentiert wird doch recht schnell bestimmen lassen.
 
 
axee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern einer nicht quadratischen Matrix
Hallo lgrizu,

Erstmals danke vielmals für deine Antwort. Ja das mit Gauss habe ich gsehen. Ich habe dasselbe erhalten wie du aufgeführt hast. Aber mir ist nicht klar, wie ich nach der Berechnung zum Kern komme resp. zum Bild. Da happerts bei mir etwas :-)

Gruss
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern einer nicht quadratischen Matrix
Woran hapert es denn genau?

Es ist das LGS zu lösen.
axee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern einer nicht quadratischen Matrix
Also dann habe ich 2 Unbekannte und ich kann für den y=1 annehmen somit wäre der Kern (2 1)T ? Es gäbe dann aber unendlich viele Kerne, ist das richtig?

Wie sieht es mit dem Bild aus?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern einer nicht quadratischen Matrix
Der Kern ist eine Menge, diese kann unendlich sein, aber unendlcih viele Kerne gibt es nicht.

Ein Vektor des Kerns (oser auch eine Basis des Kerns) ist gegeben durch den Vektor (2,1), das ist richtig, aber alle Vielfachen dieses Vektors liegen auch im Kern.
Du sollst nun den Kern bestimmen und nicht eine Basis des Kerns, also fehlt noch ein kleines bisschen.

Zum Bild:

Hast du irgendeine Idee?

Wie berechnet man denn eine Basis des Bildes einer linearen Abbildung?
axee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern einer nicht quadratischen Matrix
Beim Kern bin ich jetzt überfragt.... Ich hatte bisher noch nie irgendwie Mühe bei Matrizen oder Vektoren, aber dieses Thema Kern und Bild ist für mich irgendwie ein Stolperstein...

Wie kriege ich den von der Basis des Kern (eben (2,1)) den Kern? Etwa so?

Kern(A) =

Bezüglich Bild: Ich würde die unabhängigen Spalten finden...
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern einer nicht quadratischen Matrix
Jap, im Kern liegen einfach alle Vielfachen. Vielleicht ist die Mengenschreibweise angebrachter:

, wobei K der Körper ist, über dem du rechnest (hier wahrscheinlich IR).

Idee zum Bild ist richtig, wie schaut das dann aus?
axee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern einer nicht quadratischen Matrix
Danke betreffend dem Kern, hat mir sehr geholfen Augenzwinkern

Bild:

Ich habe die Matrix transponiert und dann den Gauss angewendet. Dann kommt folgendes dabei raus



Somit wäre die erste Zeile die Basis für das Bild, da die anderen abhängig sind. Soweit richtig?



Verhält es sich dann wieder wie beim Kern mit Lambda und dem Wertebereich?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern einer nicht quadratischen Matrix
Jap, auch im Bild liegen alle Vielfachen des Vektors.
axee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern einer nicht quadratischen Matrix
Vielen Dank, du hast mir da einen grossen Knoten gelöst...

Noch eine abschliessende Frage. In der Aufgabe wird gefragt: Ist das lineare Gleichungssystem Ax = b für



lösbar. Normalerweise (wenn die Matrix quadratisch wäre) könnte man die Inverse von A (oben genannte Matrix zu Beginn) nehmen und mit b multiplizieren um x und y zu erhalten. Das funktioniert in diesem Falle allerdings nicht...

Zusätzlich steht man solle Bild(A) und Kern(A) für die Beantwortung zu Rate ziehen...

Vielen Dank für deine Mühe und Geduld...
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern einer nicht quadratischen Matrix
Man kann auch einfach Ax=b ausrechnen, also das (überbestimmte) LGS lösen.

Eine andere Möglichkeit wäre zu überlegen, ob der Vektor b im Bild liegt...
axee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern einer nicht quadratischen Matrix
Also wenn ich Ax = b ausrechne erhalte ich die Tatsache, dass



nicht Lösung von Ax = b ist (für -3 und 3 gibt es die Lösung x=-1 und y=1, aber die 5 will da einfach nicht passen). Wie könnte ich ermitteln, ob der Vektor im Bild liegt?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern einer nicht quadratischen Matrix
Indem du schaust, ob es ein k aus deinem Körper gibt, so dass k*(1,-1,2)=b ist.
axee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern einer nicht quadratischen Matrix
Ach jetzt verstehe ich...



Das kann ganz klar mit Nein beantwortet werden. Damit ist



definitiv keine Lösung von Ax = b
axee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern einer nicht quadratischen Matrix
Vielen Dank für deine Hilfe Freude
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern einer nicht quadratischen Matrix
Korrekt formuliert:

Es gibt keinen Vektor x, so dass das LGS Ax=b lösbar ist, oder das LGS Ax=b besitzt keine Lösung.

Deine Formulierung ergibt so keinen Sinn, die Lösungen für Ax=b sind die x-se, nicht die b's.
axee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern einer nicht quadratischen Matrix
Ok, da hast du recht. Aber deine Hilfe (und Nachfrage, ohne gleich die Lösung zu präsentieren) hat mir den Knoten gelöst. Vielen Dank dafür!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern einer nicht quadratischen Matrix
Gerne wieder. Wink
Mikrognom Auf diesen Beitrag antworten »
Neue Matrix, altes Problem
Ich habe eine 3x3 Matrix A wie folgt gegeben: 1,1,5;-2,2,-2;3,-2,5
Nun soll ich Kern von A und Bild von A berechnen.
Nun habe ich mit dem Gaußverfahren den Ker(A) berechnet und habe als Ergebnis
Ker(A)= -3,-2,1
Das ist auch korekt nur mein Problem ist das Bild. Wie komme ich dort auf die Lösung?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Neue Matrix, altes Problem
@Mikrognom: bitte für neue Probleme auch einen neuen Thread aufmachen (was dann ja auch geschehen ist).

Hier geht es weiter:
Bild und Kern einer Matrix
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