Beweis zur Konvexität

18.11.2011, 11:23	Ruud	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zur Konvexität Hallo ich habe folgendes Problem: Sei $\begin{eqnarray} f: M \rightarrow Y \end{eqnarray}$ auf der konvexen Menge $\begin{eqnarray} M \subset \mathbb R^{n}, Y \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ ein Intervall mit $\begin{eqnarray} f \left(M\right) \subset Y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g: Y \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ eine konvexe monoton wachsende Funktion. Zeigen Sie, dass die Komposition $\begin{eqnarray} g \circ f: M \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ konvex ist. Meine Idee: $\begin{eqnarray} g \circ f: M \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ ist konvex $\begin{eqnarray} \Longleftrightarrow g \left(f \left( \overline x \right) \right) = g \left( f \left( \lambda x + \left(1 - \lambda \right)y \right) \right) \leq \lambda g \left( x \right) + \left( 1 - \lambda \right) g \left( f \left( y \right)\right) \end{eqnarray}$ z.Z. also: $\begin{eqnarray} g \left( f \left( \lambda x + \left(1 - \lambda \right)y \right) \right) \leq \lambda g \left( x \right) + \left( 1 - \lambda \right) g \left( f \left( y \right)\right) \end{eqnarray}$ Da f konvex ist gilt: $\begin{eqnarray} \left(1\right): f \left( \lambda x + \left(1-\lambda\right) y \right) \leq \lambda f \left( x \right) + \left( 1 - \lambda \right) f \left( y \right) \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} g: Y \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ monoton wachsend ist (Monotone Transformation) folgt: $\begin{eqnarray} \left(2\right): g \left( f \left( \lambda x + \left(1-\lambda\right) y \right) \right) \leq g\left( \lambda f \left( x \right) + \left( 1 - \lambda \right) f \left( y \right) \right) \end{eqnarray}$ Wegen Konvexität von g folgt: $\begin{eqnarray} \left(3\right): g\left( \lambda f \left( x \right) + \left( 1 - \lambda \right) f \left( y \right) \right) \leq \lambda g \left( f \left( x \right) \right) + \left( 1 - \lambda \right) g \left( f \left(y \right) \right) \end{eqnarray}$ (2) + (3) liefert: $\begin{eqnarray} g \left( f \left( \lambda x + \left(1-\lambda\right) y \right) \right) \leq \lambda g \left( f \left( x \right) \right) + \left( 1 - \lambda \right) g \left( f \left(y \right) \right) \end{eqnarray}$ q.e.d. Ist der Beweis so zulässig?
20.11.2011, 01:30	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Ja, passt. (Obwohl dir zwischendurch mal das f(x) im g(f(x)) verloren gegangen ist und du in der Aufgabenstellung die Konvexität von f verschwiegen hast)

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »