Erlang und exponentialverteilte Zufallsvariablen

08.01.2007, 14:29

schlomo76

Erlang und exponentialverteilte Zufallsvariablen

Frohes Neujahr allen Teilnehmern!

Ich bräuchte mal wieder einen kleinen Anschubs.

Gegeben sind n unabhängige, exponential verteilte Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ . zu zeigen ist, daß $\begin{eqnarray*} X_1 + X_2 + \cdots + X_n \sim Erlang(n,\lambda) \end{eqnarray*}$ .

Auf der einen Seite habe ich nun $\begin{eqnarray*} f_Erl(t)=\lambda e^{\lambda t} \frac{(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)} \end{eqnarray*}$

Doch was hab ich auf der anderen Seite?

08.01.2007, 14:40

Auf diesen Beitrag antworten »

Was weißt du denn über die Verteilung der Summe von (insbesondere unabhängigen) Zufallsgrößen? Als ersten Schritt mal die Summe von zwei Zufallsgrößen...

08.01.2007, 16:52

schlomo76

Auf diesen Beitrag antworten »

Also was bekannt ist, daß die Verteilung von einer Summe unabhängiger gleichverteilter Zufallsgrößen gleicher Verteilungsfunktion gegen die Normalverteilung konvergieren.

Aber ich wüßte nicht, wie ich zeige das Normalverteilung gleich Erlangverteilung ist.

08.01.2007, 17:12

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von schlomo76
Also was bekannt ist, daß die Verteilung von einer Summe unabhängiger gleichverteilter Zufallsgrößen gleicher Verteilungsfunktion gegen die Normalverteilung konvergieren.

Das ist das wesentliche Wort im Satz! Für endlich viele ist es eben noch keine Normalverteilung, sondern i.a. was anderes, hier z.B. die Erlangverteilung.

Nein, ich meinte sowas wie Faltung von Dichten o.ä. Oder habt ihr andere Methoden wie Laplace-Transformation oder Fourier-Transformation von Verteilungen kennengelernt? Letzteres bezeichnen die Stochastiker auch gern als "charakteristische Funktion einer Zufallsgröße". Irgendwas in der Art müsst ihr doch da kennengelernt haben...

10.01.2007, 09:51

schlomo76

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich sagt mir die Faltung was, doch steh ich irgendwie auf dem Schlauch, ich seh nicht, wie mich das weiterbringt.

10.01.2007, 10:19

Auf diesen Beitrag antworten »

Na rekursiv, also durch Vollständige Induktion, wie denn sonst: Mit $\begin{eqnarray*} S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n \end{eqnarray*}$ gilt ja $\begin{eqnarray*} S_n=S_{n-1}+X_n \end{eqnarray*}$ .

Was du also im Induktionsschluss nachweisen musst ist, dass die Summe einer $\begin{eqnarray*} \operatorname{Erlang}(n-1,\lambda) \end{eqnarray*}$ -Zufallsgröße und einer davon unabhängigen $\begin{eqnarray*} \operatorname{Exp}(\lambda) \end{eqnarray*}$ -Zufallsgröße eine $\begin{eqnarray*} \operatorname{Erlang}(n,\lambda) \end{eqnarray*}$ -Zufallsgröße ergibt. Und das geht mit Faltung.

Neue Frage »

Antworten »

Erlang und exponentialverteilte Zufallsvariablen

Verwandte Themen