Linear un- ,abhängige Vektoren

18.11.2011, 14:51

Alonushka

Linear un- ,abhängige Vektoren

Hallo =)
ich habe da eine kleine Schwierigkeit mit folgender Aufgabe:

ich soll untersuchen, ob die drei Vektoren linear unabhängig oder abhängig sind.
gegeben sind: $\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen :
ich habe mal [latex]\vec{a} als Linearkombination von den anderen zwei wektoren gemacht...dann die 3 Gleichungen aufgestellt usw....bin mir aber nicht sicher ,ob dieser Ansatz so richtig ist,ob man nicht jeden einzelnen Vektor als eine Linearkombination der anderen beiden darstellen sollte.....und wie untersuche ich ob die Vektoren unabhängig sind?

danke für kommende Antworten=)

18.11.2011, 14:58

tigerbine

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RE: Linear un- ,abhängige Vektoren
Ja, das kann man versuchen. Frage: Kennst du den Begriff: Determinante einer Matrix?

18.11.2011, 15:02

Alonushka

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RE: Linear un- ,abhängige Vektoren
nein...kenne nur das Gleichungssystem...drei Gleichungen und mehrere Unbekante

18.11.2011, 15:08

tigerbine

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RE: Linear un- ,abhängige Vektoren
Man sollte ganz allgemein ansetzen

$\begin{eqnarray*} \alpha \cdot \vec a + \beta \cdot \vec b + \gamma \cdot \vec c=\vec 0 \end{eqnarray*}$

Das führt auf ein LGS. Wenn nur der Nullvektor (Lösung ist $\begin{eqnarray*} \alpha= \beta = \gamma=0 \end{eqnarray*}$ ), sind die Vektoren lu, sonst la.

18.11.2011, 15:13

Alonushka

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RE: Linear un- ,abhängige Vektoren
du meinst mit lu und la,=)
wenn die Null ergeben ,dann sind die Vektoren linear unabhängig
und wenn nicht,dann abhängig
???

18.11.2011, 15:17

tigerbine

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RE: Linear un- ,abhängige Vektoren
Nein, es kommt auf die Werte von Alpha und Co an. Alle Null zu setzen, ist immer möglich. Nur wenn es die einzige Möglichkeit ist, dann sind a,b,c linear unabhängig. Wenn es andere Möglichkeiten gibt, dann sind sie linear abhängig.

18.11.2011, 15:20

Alonushka

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RE: Linear un- ,abhängige Vektoren
genau das habe ich doch geschrieben
danke=)

18.11.2011, 15:28

tigerbine

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RE: Linear un- ,abhängige Vektoren

Zitat:

eine Ideen : ich habe mal [latex]\vec{a} als Linearkombination von den anderen zwei wektoren gemacht

da hast du eine Variable nur schon auf 1 gesetzt. Das sollst du nicht machen. Ansonsten passt deine Idee.

18.11.2011, 15:32

Alonushka

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RE: Linear un- ,abhängige Vektoren
bei mir kommt jetzt 0=0 raus...
soll das heißen,dass die Vektoren linear abhängig sind...oder wie?weil alfa usw kann man dann frei wählen........

18.11.2011, 15:42

tigerbine

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RE: Linear un- ,abhängige Vektoren
0=0 sollte da nun aber nicht raus kommen.

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha \cdot \vec a + \beta \cdot \vec b + \gamma \cdot \vec c=\vec 0 \end{eqnarray*}$

Was kommt für

$\begin{eqnarray*} \alpha, \beta , \gamma \end{eqnarray*}$

raus? Das ist die Frage. Augenzwinkern

18.11.2011, 15:58

Alonushka

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RE: Linear un- ,abhängige Vektoren
ich schreibe einfach das was ich habe
2\alpha+3\beta+\gamma=0
\alpha+\beta+\gamma=0
0-\beta+\gamma=0

zweite Gleichund habe ich mit (-1)multipliziert
1.+2.Gleichung
\alpha+2\beta=0
2.+3. Gleichung
-\alpha-2\beta=0
wenn ich sie addiere kommt
0=0

18.11.2011, 16:04

tigerbine

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RE: Linear un- ,abhängige Vektoren
$\begin{eqnarray*} 2\alpha+3\beta+1\gamma=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1\alpha+1\beta+1\gamma=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\alpha-1\beta+1\gamma=0 \end{eqnarray*}$

nun gehe mal strikt nach Gauss vor.

$\begin{eqnarray*} 2\alpha+3\beta+1\gamma=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2\alpha-2\beta-2\gamma=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\alpha-1\beta+1\gamma=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\alpha+3\beta+1\gamma=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\alpha+1\beta-1\gamma=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\alpha-1\beta+1\gamma=0 \end{eqnarray*}$

Das heißt aber auch, dass man immer 3 Gleichungen hinschreiben muss.

$\begin{eqnarray*} 2\alpha+3\beta+1\gamma=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\alpha+1\beta-1\gamma=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\alpha+0\beta+0\gamma=0 \end{eqnarray*}$

Du erhälst also eine Nullgleichung ("0=0"). Was bedeutet das für deine Wahl von Gamma? Gamma ist frei wählbar und insgesamt sind die Vektoren linear abhängig. Augenzwinkern

19.11.2011, 14:37

Alonushka

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RE: Linear un- ,abhängige Vektoren

Zitat:

Original von Alonushka
bei mir kommt jetzt 0=0 raus...

genau das ist bei mir auch rausgekommen =)

19.11.2011, 14:42

tigerbine

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RE: Linear un- ,abhängige Vektoren
Wie gesagt,0=0 ist nur ein Teil. Du darfst die anderen 2 Gleichungen nicht unterschlagen.

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