Konvergenz von Reihen

18.11.2011, 15:28

Denise6774

Konvergenz von Reihen

Meine Frage:
a) \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3^{n}-n^{2} }{(2^{n}+1)-(2^{n}-1) }
b) \sum\limits_{n=6}^\infty \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{(n-1)^{5} }
c) \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-2)^{n}+n^{2} }{n2^{n} }
d) \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n}(n+1)-n\sqrt{n+1} }{n^{2}+n }

Meine Ideen:
a habe ich Majorantenkroterium benutzt kam aber zu keiner Ergebnis
b Quotientenregel
c wurzelkriterium
d weiß ich leider nicht

habt ihr Vorschläge an mich, welches Kriterium ich bei welcher benutzen kann???

danke schonmal

18.11.2011, 15:38

Denise6774

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a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3^{n}-n^{2} }{(2^{n}+1)-(2^{n}-1) } \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=6}^\infty \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{(n-1)^{5} } \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-2)^{n}+n^{2} }{n2^{n} } \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n}(n+1)-n\sqrt{n+1} }{n^{2}+n } \end{eqnarray*}$

19.11.2011, 09:34

Denise6774

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Kann mir keiner helfen????
Habe schon a und c brauche Hilfe bei b und d
Bitteee

19.11.2011, 09:59

Calahan

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b.)
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{(n-1)^{5}}\leq\frac 1{(n-1)^2}\cdot\left(\frac{n+3}{n-1}\right)^3\leq\frac 8{(n-1)^2},\text{ für alle }n\geq 6 \end{eqnarray*}$

d.)
Erweitere (3. binom. Formel), fasse dann zusammen und kürze anschließend.
Dann wird der Summand sehr handlich.

19.11.2011, 10:15

Denise6774

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Dankeee schonmaalll
also konvergiert b und muss ich in d mit dem nenner oder zähler erweitern?

19.11.2011, 11:05

Denise6774

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ich komme in d nicht weiterrrrrr traurig

obwohl ich beide Varianten ausprobiert hab also einmal mit dem Nenner erweitert und einmal mit Zähler.. Beides geht nicht verwirrt

19.11.2011, 11:07

René Gruber

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Dann zeig doch mal konkret, wie du den Tipp

Zitat:

Original von Calahan
Erweitere (3. binom. Formel), fasse dann zusammen und kürze anschließend.

umgesetzt hast, denn eigentlich sollte es damit klappen!

EDIT: Obwohl ... mir geht gerade auf, dass es viel günstiger ist, diese Reihe d) als Teleskopreihe zu erkennen. Augenzwinkern

19.11.2011, 12:34

Denise6774

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also ich habe mit dem Nenner erweitert

$\begin{eqnarray*} \frac{[\sqrt{n}(n+1)-n\sqrt{n+1}]*n^{2}-n }{(n^{2}+n)*n^{2}-n } \end{eqnarray*}$

weiß aber nicht wie ich weiter machen soll...

und für Teleskopsumme weiß ich auch nicht wie ich anwenden soll verwirrt

19.11.2011, 21:42

Denise6774

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hat keiner einen Vorschlag???

21.11.2011, 12:08

klarsoweit

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Erweitere mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1} + \sqrt n \end{eqnarray*}$ . smile

21.11.2011, 17:08

René Gruber

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Zitat:

Original von Denise6774
und für Teleskopsumme weiß ich auch nicht wie ich anwenden soll verwirrt

Viel anzuwenden gibt's da nicht: Entweder erkennt man (nach Vereinfachung) die Struktur im Reihenglied

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}(n+1)-n\sqrt{n+1}}{n^{2}+n} = \frac{\sqrt{n}(n+1)}{n(n+1)} - \frac{n \sqrt{n+1}}{n(n+1)} = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$

oder man erkennt sie nicht.

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