Dimension affiner Unterräume

08.01.2007, 14:39	Buef	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension affiner Unterräume Tach, hab hier ne Aufgabe und brauch bissle hilfe. Aufgabe : Betrachten Sie für Vektoren $\begin{eqnarray} a_0,..a_r \end{eqnarray}$ eines K-Vektorraums V den von den $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ erzeugten affinen Untteraum $\begin{eqnarray} A \subseteq V \end{eqnarray}$ sowie von den $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ erzeugten linearen Unterraum $\begin{eqnarray} U \subseteq V \end{eqnarray}$ ! Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} A \subseteq U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} dim_K A =\begin{cases} dim_K U, & \text{falls } 0 \in A; \\ dim_K U-1, & \text{falls } 0 \not\in A; \end{cases} \end{eqnarray}$ Unsere Lösung ist folgende, aber wir sind damit sehr sehr unsicher! Nach Dimensionsformel folgt: $\begin{eqnarray} dim_K U = im(f) + ker(f) \end{eqnarray}$ Da es eine Funktion f gibt mit $\begin{eqnarray} u \rightarrow a+U \end{eqnarray}$ mit a aus V und u aus U. Daraus folgt also: dim A = dim U , wenn die 0 mit abgebildet wird, also ker(f) und dim A = dim U - 1 , wenn die nicht nicht abgebildet wird, also ohne ker(f). Und deshalb fehlt auch eine Dimension! Was sagt ihr dazu? Mir scheint die Lösung zu einfach!

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