Logarithmusaufgabe

18.11.2011, 16:53

rez

Logarithmusaufgabe

Meine Frage:
Hi, ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe:

Lösen Sie die Gleichung, geben Sie die Lösung mithilfe des ln an und bestimmen Sie einen Näherungswert.
0,5^x - 2,5 = 0,5^(x+2)

Meine Ideen:
Die 2 (verschiedenen) x verwirren mich total, ich kann damit nicht nach x auflösen unglücklich

Hab erstmal alles logarithmiert:
log(o,5)*x-log(2,5) = log(0,5) *(x+2)
Stimmt das? Bitte um Hilfe :P

18.11.2011, 16:59

tigerbine

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RE: Logarithmusaufgabe
Warum werden die Rechenregeln für Logarithmen nur immer so nachlässig gelesen?

$\begin{eqnarray*} \log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y \end{eqnarray*}$

Warum setzt man sich nicht mit Potenzgesetzen auseinander?

$\begin{eqnarray*} a^{r+s} = a^r\cdot a^s \end{eqnarray*}$

Wie würdest also nun an

$\begin{eqnarray*} 0.5^x - 2.5 = 0.5^{x+2} \end{eqnarray*}$

herangehen? smile

18.11.2011, 17:09

rez

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RE: Logarithmusaufgabe
Also erstmal 0,5^x - 2,5 = 0,5^x * 0,5^2 oder?
wo ich den logarithmus falsch benutzt habe hab ich noch nicht ganz verstanden aber erstmal müsste man ja umstellen oder (was ich auch irgendwie falsch mache)?
0,5^x = 0,5^x * 0,25 +2,5 l/durch 0,5^x
1 = 0,25 + (2,5/0,5^x) l-0,25
0,75 = (2,5/0,5^x) l*0,5^x
o,75 *0,5^x = 2,5
sorry ja ich neige dazu Gesetze wie blind zu übergehen.... smile

18.11.2011, 17:14

tigerbine

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RE: Logarithmusaufgabe

Zitat:

sorry ja ich neige dazu Gesetze wie blind zu übergehen.

Dann hat es wenig Sinn mathematische Aufgaben lösen zu wollen.

$\begin{eqnarray*} 0.5^x - 2.5 = 0.5^{x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.5^x - 2.5 = 0.5^{x}\cdot 0.5^{2} \end{eqnarray*}$

Dein Ansatz mit der Division lässt mich nur unglücklich

Ziel ist es doch, den log anzuwenden. Warum also noch mehr Terme mit ^x erzeugen...

$\begin{eqnarray*} 0.5^x - 0.5^{x}\cdot 0.5^{2} =2.5 \end{eqnarray*}$

Nun sollte man über ausklammern nachdenken

============================

Zitat:

wo ich den logarithmus falsch benutzt habe hab ich noch nicht ganz verstanden

Es gilt

$\begin{eqnarray*} \log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y \end{eqnarray*}$

Du machst

$\begin{eqnarray*} \log_a (x + y) = \log_a x + \log_a y \end{eqnarray*}$

18.11.2011, 17:27

rez

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RE: Logarithmusaufgabe
Ich finde, genau dann macht es Sinn solche Aufgaben zu lösen zu versuchen.

0,5^x - 0,5^x * 0,5^2 = 2,5
0,5^x (1 - 0,25) = 2,5
0,5^x = 2,5/0,75 = 10/3

x = log (10/3) / log(0,5)
Bin mir nicht sicher ob das stimmt...

18.11.2011, 17:48

tigerbine

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RE: Logarithmusaufgabe
Nein. Bevor man aufgaben angeht, hat man sich genau über die Gesetze zu informieren und nicht mal auf gut Glück anzusetzen.

$\begin{eqnarray*} 0.5^x - 0.5^{x}\cdot 0.5^{2} =2.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.5^x(1 - 0.5^{2}) =2.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.5^x\cdot \frac{3}{4} =\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.5^x=\frac{10}{3} \end{eqnarray*}$

Nun kommt mir der Logarithmus wieder zu schnell. Wendet man ihn auf beiden Seiten am, erhält man

$\begin{eqnarray*} \log(0.5^x)=\log\left(\frac{10}{3}\right) \end{eqnarray*}$

Nun kommen die Gesetze: http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Logarithmengesetze

$\begin{eqnarray*} x \cdot \log(0.5)=\log\left(\frac{10}{3}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x =\frac{\log\left(\frac{10}{3}\right)}{\log(\frac{1}{2})} \end{eqnarray*}$

Also: Bist du dir nun sicher, was deine Antwort betrifft?

18.11.2011, 17:54

rez

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RE: Logarithmusaufgabe
Ja, vielen Dank vor allem dafür dass du den Schritt vor x= nochmal durchgeführt hast. Ich habe den bisher noch nie jemanden ausführen sehen und war mir deshalb nicht sicher ob ich ihn richtig verstanden habe, also dass dann erstmal log(0,5) * x auf der einen Seite steht.
Jetzt hab ich es aber ganz verstanden denk ich weiß auch was ich beim Rechnen falsch gemacht hab bzw. bin mir meiner Lösung sicher! Augenzwinkern

danke

18.11.2011, 17:58

tigerbine

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RE: Logarithmusaufgabe

Zitat:

Ich habe den bisher noch nie jemanden ausführen sehen

Weil es eben in den Gesetzen ja schon drinsteht. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \log_a \left(x^r\right) = r \log_a x. \end{eqnarray*}$

Wink

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