implizite Funktionen

18.11.2011, 17:49

DerPeter123

Auf diesen Beitrag antworten »

implizite Funktionen

Meine Frage:
Hier die Aufgabe:

Lösen sie das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} y_1+cos(y_1+y_2)=y_2x_1+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin(y_1)=x_2+y_2 \end{eqnarray*}$
ine einer Umgebung des Punktes

$\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,y_1,y_2)=(0,-1,0,1) \end{eqnarray*}$
nach $\begin{eqnarray*} y=(y_1,y_2) auf \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Das hat etwas mit dem Langrage-Multiplikator bzw. implizite Funktionen zu tun, aber ich hab gerade ein Brett vorm Kopf.

Bin für jede Hilfe dankbar.

18.11.2011, 18:14

DerPeter123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: implizite Funktionen
Habe gerade den super Workshop von Cel entdeckt. Geht man nbei dieser Aufgabe identisch vor?

18.11.2011, 18:26

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte auch darauf hingewiesen, aber es passen die Voraussetzungen nicht. Wenn man (0,-1,0,1) einsetzt, stimmen die Gleichungen nicht. Was sie aber für den Satz über implizite Funktion müssten. Überprüf noch mal deine Aufgabe oder lade sie hoch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich tippe auf einen Fehler beim Abschreiben, passiert ja schnell.

18.11.2011, 18:28

DerPeter123

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier die Aufgabe

18.11.2011, 18:32

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ha! 100 Punkte für Cel. Big Laugh

Big Laugh

Dort steht $\begin{eqnarray*} \cos(y_1 \color{red} \cdot \color{black} y_2) \end{eqnarray*}$

Aufgabe 5.1 liefert dir den Schlüssel zum Erfolg. smile

smile

Schau mal, was du hinbekommst. Bestimme zuerst dein f, sodass der angegebene Punkt eine Nullstelle von f liefert. Dann Jacobimatrix ... usw.

18.11.2011, 18:34

DerPeter123

Auf diesen Beitrag antworten »

Uns wurde heute in der Vorlesung gesagt, dass da $\begin{eqnarray*} cos(y_1+y_2) \end{eqnarray*}$ steht.

Hat er anscheinend geändert.

Muss ich mein g noch finden oder kann ich, da der Punkt vier Variablen umfasst(mir fällt gerade keine bessere Formulierung ein), diesen Schritt überspringen, eine Funktion f definieren und dann die Jakobimatrix berechnen?

Anzeige

18.11.2011, 18:41

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Glaub mir: Es muss Mal dort stehen. Sonst kannst du den Satz über implizite Funktionen nicht anwenden. Wie gesagt, setz doch mal diesen Punkt ein. Die Gleichungen stimmen nur, wenn dort Mal steht. Du könntest natürlich auch dein f ein wenig verpröckeln, damit dort eine Nullstelle herauskommt. Dafür müsstest du dort cos(1)-1 einarbeiten. Dann würde es passsen. Allerdings könnte es dann Probleme mit der Invertierbarkeit der Teilmatrix geben, hab ich jetzt nicht nachgerechnet.

Vielleicht wollen die euch ja herausfordern und genau das testen? Möglich. Entscheide du, wie wir weitermachen. Ich empfehle dir das Mal. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.11.2011, 18:44

DerPeter123

Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, das ergibt schon Sinn, da sthet jetzt ja auch ein Mal

Muss ich mein g noch finden oder kann ich, da der Punkt vier Variablen umfasst(mir fällt gerade keine bessere Formulierung ein), diesen Schritt überspringen, eine Funktion f definieren und dann die Jakobimatrix berechnen?

18.11.2011, 18:59

DerPeter123

Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, das ergibt schon Sinn, da sthet jetzt ja auch ein Mal

Ich habe noch eine Frage zur Aufgabe 3.

Reicht es aus zu sagen, dass $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ , da Einheitskreis, in jedem Punkt den Abstand 1 hat. Somt hat die Schnittmenge mit $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ auch immer den Abstand 1 zum Ursprung, womit der Abstand 1 ist.
Reicht das aus?
Mit Lagrange aäre das ja vile zu kompliziert, und man würde viel zu viele Punkte herausbekommen.

18.11.2011, 19:08

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu müsstest du einen neuen Thread erstellen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Immer nur eine Aufgabe pro Thread.

18.11.2011, 19:15

DerPeter123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: implizite Funktionen
Dann wieder zurück zur Aufgabe:

Muss ich mein g noch finden oder kann ich, da der Punkt vier Variablen umfasst(mir fällt gerade keine bessere Formulierung ein), diesen Schritt überspringen, eine Funktion f definieren und dann die Jakobimatrix berechnen?

Habe ich nur Müll geschriebne, wenn ja wie bestimmt man g?

18.11.2011, 19:56

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Man bestimmt g überhaupt nicht. Du kannst g gar nicht bestimmen. Du kannst lediglich zeigen, dass es existiert. Das g in meinem Artikel entspricht deinem y.

Zunächst aber brauchen wir die Funktion f, für die f(0,-1,0,1)=0 gilt. Guck dir mal an, wie ich das bei der 5.1 gemacht habe.

Anschließend brauchen wir die Jacobi von f.

18.11.2011, 20:09

DerPeter123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: implizite Funktionen
Dann werde ich das mal machen und meine Lösung morgen posten.

PS: Stimmt mein ANsatz bei der 3?

Ein ja oder nein würden mir schon genügen.

18.11.2011, 22:46

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Das wird nicht stimmen, nein. Denn nicht alle Punkte aus $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ haben einen Abstand von 1. Nur die, die in der xy-Ebene liegen, haben den. Der Punkt $\begin{eqnarray*} (\sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt{\frac{1}{2}}, 5) =: a \end{eqnarray*}$ liegt auch in $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} |a|=\sqrt{26} \end{eqnarray*}$ .

Aber mehr sag ich dazu nicht, weil ich auch gar nicht so genau weiß, wie man das macht.

19.11.2011, 10:26

DerPeter123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: implizite Funktionen
Ich glaube ich habe die Aufgabe gelöst:

Die Jakobi-Matrix sieht folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-y_2*sin(y_1*y_2) & -y_2*sin(y_1*y_2)-x_1 & \\ cos(y_1) & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit ist die Determinante ungleich null.

Duech den Satzb über implizite Funktionen folgt nun, deass eine offene Umgebug des Puntes $\begin{eqnarray*} (0;-1) \end{eqnarray*}$ existiert und eine offen Umgebung V des Punktes $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ und eine stetig differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} g:U->V \end{eqnarray*}$ , so dass das GLS $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,g(y_1,y_2)) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 aus U \end{eqnarray*}$ gelöst wird.

Stimmt die Argumentation ?

19.11.2011, 19:34

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: implizite Funktionen

Zitat:

Original von DerPeter123
Die Jakobi-Matrix sieht folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-y_2*sin(y_1*y_2) & -y_2*sin(y_1*y_2)-x_1 & \\ cos(y_1) & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit ist die Determinante ungleich null.

Für eine saubere Argumentation müsstest du erst mal das f aufschreiben, die komplette Jacobi und dann die Teil-Jacobimatrix. Jedenfalls stimmt der obere rechte Eintrag noch nicht. Außerdem, wieso somit? Die Jacobimatrix muss nur in einem Punkt invertierbar sein, schreib noch die Matrix in dem betrachteten Punkt auf. Ansonsten ist das dann gut.

Übrigens, für das nächste Mal: Übe dich ein Wenig in Geduld. Ein wenig kann so eine Antwort schon dauern. Nach angemessener Zeit, also nach ein, zwei Tagen darfst du ruhig mal pushen, aber nicht so. Ich entferne deswegen diese Beiträge.

19.11.2011, 19:43

DerPeter123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: implizite Funktionen
$\begin{eqnarray*} f=(y_1+cos(y_1*y_2)-y_2*x_1-1; sin(y_1)-x_2-y_2 \end{eqnarray*}$

Wieso ist dann der Eintrag oben rechts nicht richtig. Leite ich den ersten Teil nach y_2 ab , kommt das doch raus.

Dann muss man den Punkt in die Matrix einsetzen. Man bekommt heraus, dass sie invertierbar ist und dann gebe ich meine Argumentation an .

So richtig?

19.11.2011, 20:05

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du nach $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ ableitest, dann ist die innere Ableitung des cos nicht $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber ja, das ist dann richtig.

19.11.2011, 20:09

DerPeter123

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber ich verstehe nicht, was su meinst.

19.11.2011, 20:12

DerPeter123

Auf diesen Beitrag antworten »

Schon ok, hatte n Bret vorm Kopp.

Schönen Abend noch.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »