Konvergenz einer Reihe

18.11.2011, 18:04	02468	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe Meine Frage: Hi, bräuchte mal bitte 'nen Ansatz hierfür: $\begin{eqnarray} (a_{n})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ reelle Folge, $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty (a_{n}) \end{eqnarray}$ absolut konvergente Reihe. Zu zeigen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty ((a_{n})^{2}) \end{eqnarray}$ auch konvergent. Meine Ideen: Habe keine passende Idee. Die gängigen Kriterien lassen sich ja nicht anwenden und das Quadrat kann ich ja auch nicht einfach herausziehen. Danke.
18.11.2011, 18:08	DerPeter123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Reihe Überleg mal, was für eine Folge $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ sein muss und was passiert, wenn man diese quadriert. Wie kansst du die Folgen dann abschätzen?
18.11.2011, 18:25	02468	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (a_{n})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ muss eine Nullfolge sein. Das Quadrieren wird daran nichts ändern. Aber das kann ja durchaus das Konvergenzverhalten der Reihe beeinflussen. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{n}) \end{eqnarray}$ zum Beispiel divergiert, $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty ((\frac{1}{n})^{2})=\sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{n^{2}}) \end{eqnarray}$ hingegen konvergiert. Oder gilt das nur in der "anderen Richtung"? Ergibt sich hier aus der Tatsache, dass $\begin{eqnarray} (a_{n})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ Nullfolge ist und die einzelnen Glieder somit gegen Null gehen, dass das Quadrieren dieser diese nur weiter verkleinert (ab irgendeinem $\begin{eqnarray} n_{0} \end{eqnarray}$ ) und somit auch die Summe, wodurch $\begin{eqnarray} (a_{n})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ Majorante zu ihrem eigenen Quadrat ist?
19.11.2011, 19:58	02468	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage beschäftigt mich noch.
20.11.2011, 19:33	02468	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Ja oder ein Nein würde mir genügen.
20.11.2011, 19:44	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
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20.11.2011, 19:48	02468	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke!

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