Beweis/Widerlegen Vektorraum

18.11.2011, 18:05

xPegasusx

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Beweis/Widerlegen Vektorraum

Hallo,

ich habe ein paar Aufgaben zu machen im neuen Thema, wo sich momentan alles um Vektorräume dreht.

Die Aufgabe:
V ist ein Vektorraum, wobei 0 nicht entahlten ist.
$\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$
M und T sind Abbildungen
$\begin{eqnarray*} V \Rightarrow V \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} c \in V \end{eqnarray*}$ definiert durch:

$\begin{eqnarray*} T_{v}(x) = v+x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M_{v}(x) = v-x \end{eqnarray*}$

Beweisen oder widerlegen Sie:

1. $\begin{eqnarray*} \forall(v,w\in V) T_{v}\cdot T_{w} = T_{v+w} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \forall(v,w\in V) M_{v}\cdot M_{w} = M_{v-w} \end{eqnarray*}$

Erst mal zu Aufgabe 1.
Für mich ist das eine Translation(deswegen vermutlich auch T), also der Vektor x wird um den Vektor v verschoben.
Das kenne ich noch von der 3D-Programmierung, wobei das als Beweis nicht reichen wird Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hab jetzt erst mal einen Graphen aufgezeichnet im 2-Dimensionalenraum.
Wenn man mit T rumspielt sieht man ungefähr was passiert.

Jetzt soll das Skalarprodukt von zwei Translationen gleich sein mit $\begin{eqnarray*} t_{v+w} \end{eqnarray*}$

Wie geht man da jetzt vor?
Ich hänge noch beim Skalarprodukt(also dem Kringel mit einem Loch),
Ich hätte dann ja (vw + vx + vw + xv) oder?

Vielleicht kann mir jemand einen kleinen Denkanstoß geben.

Danke schon mal.

18.11.2011, 18:31

galoisseinbruder

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RE: Beweis/Widerlegen Vektorraum
Ich vermute eher Du sollst dir folgendes anschauen:

1. $\begin{eqnarray*} \forall(v,w\in V) T_{v}\circ T_{w} = T_{v+w} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \forall(v,w\in V) M_{v}\circ M_{w} = M_{v-w} \end{eqnarray*}$

Das ist nicht das Skalarprodukt, sondern die Komposition von Abbildungen . Skalarprodukt würde hier auch wenig Sinn ergeben, denn das Skalarpodukt zweier Vektoren, wie der name schon sagt, ein Skalar, sprich eine Zahl.
$\begin{eqnarray*} T_{v+w}(x),M_{v-w}(x) \end{eqnarray*}$ sind aber Vektoren.

19.11.2011, 15:29

xPegasusx

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Ok, dann ist das eine Komposition.

1.
Wie beweise ich jetzt die Transaltion?
Die Komposition stimmt ja in dem Fall:
$\begin{eqnarray*} T_{v} \cdot T_{w} = v+w+x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_{v+w} = v+w+x \end{eqnarray*}$

Reicht das, bzw. stimmt das?

Bei der zweiten Aufgabe geht das dann nicht:
$\begin{eqnarray*} M_{v} \cdot M_{w} = v+w-x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M_{v+w} = v-w-x \end{eqnarray*}$
Also gilt die Aussage nicht.

Jetzt habe ich noch zwei weitere Aufgaben:
Es wird behauptet:
Es gibt ein $\begin{eqnarray*} v \in V mit T_{v} = id_{v} \end{eqnarray*}$
Analog zu M:
Es gibt ein $\begin{eqnarray*} v \in V mit M_{v} = id_{v} \end{eqnarray*}$

Meine Idee dazu:
id heißt ja identische Abbildung.
Ich weiß nicht genau, aber sollte die Verknüpfung von Funktion und id nicht die Funktion wiedergeben? Oder sollte es sich wie ein neutrales Element verhalten, so dass $\begin{eqnarray*} T_{v} \cdot id_{v} = v \end{eqnarray*}$ ?

19.11.2011, 17:28

galoisseinbruder

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Du solltest Dir Deine definitionen nochmal genau anschauen. $\begin{eqnarray*} T_v \circ T_w \end{eqnarray*}$ z.B. ist eine Abbildung $\begin{eqnarray*} v+w+x \end{eqnarray*}$ hingegen ein Vektor die können nicht gleich sein. Was allerdings stimmt ist $\begin{eqnarray*} T_{v} \circ T_{w} (x) = v+w+x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} T_{v+w}(x) = v+w+x \end{eqnarray*}$ und das würde als Beweis reichen.

Das hingegen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} M_{v} \cdot M_{w} = v+w-x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} M_{v+w} = v-w-x \end{eqnarray*}$

ist murks, selbet wenn man $\begin{eqnarray*} M_v(x) \circ M_w(x) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} M_{v+w} (x) \end{eqnarray*}$ verwendet. Definition nachschauen!
Und um zu zeigen dass etwas nicht gilt muss man ein Gegenbeispiel angeben.
(wer sagt denn, dass aus welchen Gründen auch immer die Terme nicht den jeweils denselben Vektor ergeben?)

Zur weiteren Aufgabe: Bitte den exakten Wortlaut angeben.
Ich vermute Mal die Aufgabe ist von der Sorte: gibt es ein v mit...?

Das LaTeX-Kommando für Komposition ist \circ: $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$

19.11.2011, 17:33

Leopold

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Du hast deinen Text teilweise stark verkrüppelt. Das geht schon vorne los.

Zitat:

Original von xPegasusx
V ist ein Vektorraum, wobei 0 nicht entahlten ist.

Ein Vektorraum enthält immer die Null. Vielleicht soll die Null des Vektorraums für gewisse Operationen im Folgenden nicht betrachtet werden. Das ist aber etwas GANZ ANDERES als zu sagen, der Vektorraum enthalte keine Null. Und noch viele Oberflächlichkeiten dieser Art sind in deinem Text zu finden ...

Der Malpunkt bedeutet hier die Verkettung zweier Abbildungen. Um Verwechslungen auszuschließen schreibe ich wie galoisseinbruder lieber $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ dafür.

Die zweite Aussage ist falsch. Ich vermute, daß du hier den Text falsch abgeschrieben hast. Es soll vermutlich $\begin{eqnarray*} M_v \circ M_w = T_{v-w} \end{eqnarray*}$ heißen. Denn dann stimmt es.

Auch mußt du zwischen einer Abbildung, z.B. $\begin{eqnarray*} T_v \end{eqnarray*}$ , und dem Wert der Abbildung an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} T_v(x) \end{eqnarray*}$ , unterscheiden. Darauf hat galoisseinbruder schon hingewiesen. Die Unterscheidung ist in diesem Zusammenhang essentiell. Oberflächliches Dahinwerfen mathematischer Ausdrücke führt hier schnell ins Chaos.

Jetzt endlich einmal etwas Positives. Du hast bei 1. schon erkannt, worum es geht. Nur ist es nicht richtig aufgeschrieben. Ich führe dir einen Musterbeweis für 1. vor.

Zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \color{blue} T_v \circ T_w = T_{v+w} \end{eqnarray*}$

Zwei Abbildungen sind dann und nur dann gleich, wenn sie auf allen Eingaben übereinstimmen. Daher ist genauer zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \color{blue} \left( T_v \circ T_w \right)(x) = T_{v+w}(x) \ \ \mbox{für alle} \ \ x \in V \end{eqnarray*}$

Sei daher $\begin{eqnarray*} \color{blue} x \in V \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \color{blue} \left( T_v \circ T_w \right)(x) = T_v \left( T_w(x) \right) = T_v \left( w+x \right) = v+w+x = T_{v+w}(x) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \color{blue} x \end{eqnarray*}$ beliebig war, folgt die Behauptung: $\begin{eqnarray*} \color{blue} T_v \circ T_w = T_{v+w} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt du. Und genau und ausführlich. Die Berechnung von $\begin{eqnarray*} M_v \circ M_w \end{eqnarray*}$ oben stimmt übrigens nicht, und zwar nicht nur formal nicht.

Nebenbei: $\begin{eqnarray*} M_v \end{eqnarray*}$ ist eine Punktspiegelung an $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}v \end{eqnarray*}$ . Die Aussage $\begin{eqnarray*} M_v \circ M_w = T_{v-w} \end{eqnarray*}$ sagt damit, daß man zwei Punktspiegelungen, nacheinander ausgeführt, durch eine Translation ersetzen kann.

19.11.2011, 18:00

xPegasusx

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Okay danke, ich muss mir die Formalitäten genauer ansehen.
Ich verwechsel noch zu viel.
Zmd. habe ich grob erkannt bei der ersten Aufgabe was zu zeigen war und das es stimmt.

Ich werde das jetzt für die 2.Aufgabe machen und dann komme ich auf die anderen wider zu.

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19.11.2011, 18:17

xPegasusx

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Zur 2. Aufgabe:
In der Aufgabe steht es genau so, also nicht mit der Translation.
Es geht ja darum das man auch lernt etwas zu widerlegen.
Es kann gut sein das eine reale Aussage existiert die ähnlich ist, aber ich glaube hier in dem Fall kann es gut sein das es bewusst so gemacht wurde.

$\begin{eqnarray*} M_{v} \circ M_{w} = M_{v-w} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M_{v}(x) = v-x \end{eqnarray*}$

Zu zeigen bzw. zu wiederlegen:

$\begin{eqnarray*} M_{v} \circ M_{w} = M_{v-w} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (M_{v} \circ M_{w})(x) = M_{v}(M_{w}(x)) = M_{v}(w-x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = v -(w-x) = v-w+x \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} M_{v-w}(x) = v-w-x \end{eqnarray*}$ und damit ist die Behauptung widerlegt, da die Abbildungen unterschiedliche Eingaben haben.

Ich hoffe das ist soweit nachvollziehbar und aus eurer Sicht auch korrekt.
Ich denke ich werde jetzt erst mal auf einen richtigen Latex-Editor umsteigen, damit ich besser meine "Live-Eingaben" verfolgen kann Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.11.2011, 18:27

Leopold

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Zitat:

Original von xPegasusx
Für $\begin{eqnarray*} M_{v-w}(x) = v-w-x \end{eqnarray*}$ und damit ist die Behauptung widerlegt, da die Abbildungen unterschiedliche Eingaben haben.

Es geht um die Ausgaben! Aber sind die wirklich unterschiedlich? Ich weiß natürlich nicht, ob "Körper der Charakteristik 2" zu deinem mathematischen Erfahrungshorizont gehört. Vielleicht wäre es dennoch nicht schlecht, für die scheinbare Selbstverständlichkeit noch Argumente anzubringen.

19.11.2011, 18:30

galoisseinbruder

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So siehts gut aus Freude

Freude

Ich habe aber noch einen Einwand der vielleicht etwas untergegangen ist

Zitat:

Original von galoisseinbruder

Und um zu zeigen dass etwas nicht gilt muss man ein Gegenbeispiel angeben.
(wer sagt denn, dass aus welchen Gründen auch immer die Terme nicht den jeweils denselben Vektor ergeben?)

Es gilt z.B. für $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ (dem Körper mit 2 Elementen) $\begin{eqnarray*} a=-a \forall a\in \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ . Dort gilt die Gleichheit also.
Nur weil Terme verschieden aussehen heißt es noch nicht, dass sie auch verschiedene Werte ausspucken. Deswegen: Gegenbeispiel.

19.11.2011, 18:40

xPegasusx

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Okay dann würde es reichen wenn ich jetzt noch ein Gegenbeispiel nenne?
Für alle Werte gleich 1, erhielte man für die linke Seite $\begin{eqnarray*} (M_{1} \circ M_{1})(1) = 1 \end{eqnarray*}$
Die rechte Seite $\begin{eqnarray*} M_{1-1}(1) = -1 \end{eqnarray*}$

Würde das genügen?
oder müsste man v und w beliebig lassen?

19.11.2011, 18:44

galoisseinbruder

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In welchem Vektorraum soll denn das Gegenbeispiel leben?
i.A. ist 1 kein Vektor.
Und da Du die Aussage $\begin{eqnarray*} \forall v,w \in V: M_{v} \circ M_{w} = M_{v-w} \end{eqnarray*}$ widerlegen kannst Du auch geeignete v,w auswählen.

19.11.2011, 18:46

xPegasusx

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Für v und w gleich 1 hätte man dann x = -x und das wäre ein direkter Widerspruch?

19.11.2011, 18:50

galoisseinbruder

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Du hast meine Frage nicht beantwortet:

Zitat:

Original von galoisseinbruder
In welchem Vektorraum soll denn das Gegenbeispiel leben?
i.A. ist 1 kein Vektor.

Und Deine hatte ich schonmal beantwortet

Zitat:

Original von galoisseinbruder
Es gilt z.B. für $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ (dem Körper mit 2 Elementen) $\begin{eqnarray*} a=-a \forall a\in \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ . [/B]

Außerdem: Widerspruch wozu?

19.11.2011, 18:59

xPegasusx

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Wieso ist 1 denn kein Vektor?
Ist das nur falsch geschrieben?

Das mit dem F verstehe ich gerade gar nicht, bzw. auch das mit dem Vektorraum.

Hab ich in der Form noch nie gesehen.

19.11.2011, 19:08

galoisseinbruder

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Wenn z.B $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ dann ist 1 kein Element des Vektorraums also kein Vektor.
Der Körper mit 2 Elementen dient mir hier dazu um zu zeigen, dass auch x=-x in einem Vektorraum gelten kann. Man kann also x=-x nicht aus den Vektorraum-Axiomen herleiten.
Und jeder Körper ist auch ein Vektorraum über sich selbst.

19.11.2011, 19:13

xPegasusx

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Also muss ich für R, R^2 und R^3 eigene Beispiele machen?
Oder wie meinst du das jetzt?

19.11.2011, 19:15

galoisseinbruder

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Nein. Du musst ein KONKRETES Gegenbeispiel angeben. Dazu gehört auch die Angabe eines Vektorraums in dem das nicht gilt.

19.11.2011, 19:20

xPegasusx

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Also wenn ich sage x stammt aus dem Vektorraum R, dann reicht das ?

19.11.2011, 19:22

galoisseinbruder

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Wenn Du in dem Vektorraum R ein x ein v und ein w hast, so dass die Aussage nicht gilt ist es ein Gegenbeispiel und die Aussage ist widerlegt.

19.11.2011, 19:31

xPegasusx

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Okay also schreibe ich $\begin{eqnarray*} x,v,w \in R \end{eqnarray*}$ über den vermeindlichen Widerspruch und das Gegenbeispiel reicht aus?

19.11.2011, 19:35

galoisseinbruder

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Schreibs hin, dann kann ich sagen ob´s ein Gegenbeispiel ist. Wie gasagt ein konkretes Gegenbeispiel ist das Beste. (d.h. keine Variablen mehr)
Du meinst schon $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , die reellen Zahlen?

19.11.2011, 19:39

xPegasusx

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$\begin{eqnarray*} M_{v} \circ M_{w} = M_{v-w} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M_{v}(x) = v-x \end{eqnarray*}$

Zu zeigen bzw. zu wiederlegen:

$\begin{eqnarray*} M_{v} \circ M_{w} = M_{v-w} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (M_{v} \circ M_{w})(x) = M_{v}(M_{w}(x)) = M_{v}(w-x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x,v,w \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = v -(w-x) = v-w+x \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} M_{v-w}(x) = v-w-x \end{eqnarray*}$ und damit ist die Behauptung widerlegt, da die Abbildungen unterschiedliche Eingaben haben.

Konkretes Beispiel:
$\begin{eqnarray*} 1 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (M_{1} \circ M_{1})(1) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M_{1-1}(1) = -1 \end{eqnarray*}$

19.11.2011, 19:46

galoisseinbruder

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Ich mach mal einen Formulierungsgegenvorschlag:
$\begin{eqnarray*} \forall(v,w\in V) M_{v}\circ M_{w} = M_{v-w} \end{eqnarray*}$ gilt nicht, denn sei $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{R}, x=v=w=1 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} (M_1 \circ M_1)(1)=1 \neq -1 = M_{1-1}(1) \end{eqnarray*}$ .

19.11.2011, 19:56

xPegasusx

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Okay danke so muss ich mir das merken.

Zur dritten Aufgabe:

Ich schreib sie mal komplett ab.

Aufgabe war beweisen oder widerlegen Sie:

3. Es gibt ein $\begin{eqnarray*} v \in V mit T_{v} )= id_{v} \end{eqnarray*}$

Analog dazu:

4. Es gibt ein $\begin{eqnarray*} v \in V mit M_{v} )= id_{v} \end{eqnarray*}$

Um dazu zu kommen was ich mir dazu gedacht habe:

Eine identische Abbildung wird doch dadurch gekennzeichnet, dass die Funktion angehängt an die identische Abbildung wieder die Funktion zurück gibt?
Ansatz:
$\begin{eqnarray*} T_{v} \circ id_{v} = T_{v} \end{eqnarray*}$

Ist das in diesem Kontext korrekt?

19.11.2011, 20:05

galoisseinbruder

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Die Notation $\begin{eqnarray*} id_V \end{eqnarray*}$ ist geschickter, da es die Identität auf dem vektorraum ist und mit einem gegebenen Vektor nicht viel zu tun hat. Ansonsten ist es korrekt wobei wohl $\begin{eqnarray*} id_V (x)=x \end{eqnarray*}$ für die Aufgabe geeigneter ist.

20.11.2011, 12:17

xPegasusx

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Okay gut ich hab das jetzt soweit mal durchgespielt.

Muss ich jetzt erst mal ein $\begin{eqnarray*} id_{V} \end{eqnarray*}$ formulieren, das dann den Definitionen genügt? und dann prüfen ob die Abbildung $\begin{eqnarray*} T_{v} = id_{V} \end{eqnarray*}$ gilt?

Gerade der erste Schritt fällt mir schon schwer, ich kann mir da gerade wenig drunter vorstellen.

Das würde ja stimmen:
$\begin{eqnarray*} id_{V} := x \end{eqnarray*}$
Oder sehe ich das falsch?

20.11.2011, 12:34

galoisseinbruder

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Ich habs doch eigentlich schon geschrieben verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} id_V : V \rightarrow V , x \mapsto v=id_V(v) \end{eqnarray*}$ ist bereits definiert.
(Deswegen hat die Abbildung ja auch einen eigenen Namen und sogar eine eigene Schreibweise)

20.11.2011, 13:14

xPegasusx

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Okay jetzt sehe ich es etwas klarer.

$\begin{eqnarray*} T_{v} \circ id_{V} = T_{v} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_{v}(id_{V}(x)) = T_{v}(x) \end{eqnarray*}$

Ist damit der Beweis erbracht, dass die Aussage stimmt?

20.11.2011, 13:19

galoisseinbruder

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Nein. Die Frage war

Zitat:

Beweise oder widerlege:
3. Es gibt ein $\begin{eqnarray*} v \in V \text{ mit }T_{v} = id_{V} \end{eqnarray*}$ Analog dazu:
4. Es gibt ein $\begin{eqnarray*} v \in V \text{ mit }M_{v} = id_{V} \end{eqnarray*}$

20.11.2011, 13:37

xPegasusx

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Stimmt ich hab die ganze Augabe schon wieder verloren gehabt.

$\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_{v} = id_{V} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ Für den Raum R.

$\begin{eqnarray*} T_{v}(x) = id_{V}(x) \end{eqnarray*}$

So?
Auf der linken Seite steht dann das bekannte, v+x und rechts nur x oder wie?

20.11.2011, 13:40

galoisseinbruder

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Richtig.

20.11.2011, 13:54

xPegasusx

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Daraus folgt dann das die Aussage falsch ist(für R), da
$\begin{eqnarray*} T_{v}(x) = v+x \neq x = id_{V} \end{eqnarray*}$
Wobei v dann nicht 0 sein darf(in R).

Kann man das dann so schreiben?
Werde dann gleich die nächste Aufgabe genau so machen und mal schauen was da raus kommt.

20.11.2011, 14:24

xPegasusx

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Zur Aufgabe 3:

$\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} id_{V}: V \rightarrow V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \mapsto v =: id_{V}(v) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_{v} = id_{v} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_{v}(x) = id_{v}(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v-x = x \end{eqnarray*}$

Wenn x im Raum R, dann ist die Aussage widerlegt.

Stimmt das so?
Irgendwie glaube ich dem nicht so ganz, mache ich beim id was falsch oder in der Gleichsetzung?

20.11.2011, 14:31

galoisseinbruder

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} T_{v}(x) = v+x \neq x = id_{V} \end{eqnarray*}$ Wobei v dann nicht 0 sein darf(in R).

Schau Dir nochmal genau die AUfgabenstellung an.

Zitat:

Wenn x im Raum R, dann ist die Aussage widerlegt.

GEGENBEISPIEL (das Schreien ist Absicht, ich hab hier bereits mehrfach und ausführlich darauf hingewiesen, dass um zu zeigen dass etwas nicht gilt ein gegenbeispiel nötig ist.)

20.11.2011, 15:00

xPegasusx

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Okay jetzt bin ich verwirrt.
Das erste verstehe ich nicht, also aus meiner Sicht wären beide Aussagen falsch.

Gegenbeispiele habe ich noch keine gebracht weil ich nicht weiß ob das so weit stimmt.

Ansonsten:

v = 1, x =1 aus R.

1.Aufgabe 1+1 = 1 Widerspruch
2.Aufgabe 1-1 = 1 Widerspruch

20.11.2011, 15:03

galoisseinbruder

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Zitat:

Beweise oder widerlege: 3. Es gibt ein $\begin{eqnarray*} v \in V \text{ mit }T_{v} = id_{V} \end{eqnarray*}$ Analog dazu: 4. Es gibt ein $\begin{eqnarray*} v \in V \text{ mit }M_{v} = id_{V} \end{eqnarray*}$

20.11.2011, 15:27

xPegasusx

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Hab ich das nicht jetzt getan?
Ich habe ein v gezeigt?

20.11.2011, 15:34

galoisseinbruder

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} T_{v}(x) = v+x \neq x = id_{V} \end{eqnarray*}$ Wobei v dann nicht 0 sein darf(in R).

Warum schließt Du hier v=0 aus?
Weil ja gerade $\begin{eqnarray*} T_0=id_V \end{eqnarray*}$

20.11.2011, 15:39

xPegasusx

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Stimmt...
also für v = 0 würde es mit der identischen Abbildung zu treffen.

Bei der Aufgabe 2 könnte man 0 jetzt als Gegenbeispiel angeben, wo dann -x herauskäme.

20.11.2011, 15:45

galoisseinbruder

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Ja, könnte man. Aber wieder wie vorher konkretes Gegenbeispiel. Ich habe hier ja schon einen VR genannat in dem x=-x gilt.

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