Beweis/Widerlegen Vektorraum

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xPegasusx Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis/Widerlegen Vektorraum
Hallo,

ich habe ein paar Aufgaben zu machen im neuen Thema, wo sich momentan alles um Vektorräume dreht.

Die Aufgabe:
V ist ein Vektorraum, wobei 0 nicht entahlten ist.

M und T sind Abbildungen
definiert durch:




Beweisen oder widerlegen Sie:

1.

2.

Erst mal zu Aufgabe 1.
Für mich ist das eine Translation(deswegen vermutlich auch T), also der Vektor x wird um den Vektor v verschoben.
Das kenne ich noch von der 3D-Programmierung, wobei das als Beweis nicht reichen wird Augenzwinkern

Ich hab jetzt erst mal einen Graphen aufgezeichnet im 2-Dimensionalenraum.
Wenn man mit T rumspielt sieht man ungefähr was passiert.

Jetzt soll das Skalarprodukt von zwei Translationen gleich sein mit

Wie geht man da jetzt vor?
Ich hänge noch beim Skalarprodukt(also dem Kringel mit einem Loch),
Ich hätte dann ja (vw + vx + vw + xv) oder?

Vielleicht kann mir jemand einen kleinen Denkanstoß geben.

Danke schon mal.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis/Widerlegen Vektorraum
Ich vermute eher Du sollst dir folgendes anschauen:

1.

2.

Das ist nicht das Skalarprodukt, sondern die Komposition von Abbildungen . Skalarprodukt würde hier auch wenig Sinn ergeben, denn das Skalarpodukt zweier Vektoren, wie der name schon sagt, ein Skalar, sprich eine Zahl.
sind aber Vektoren.
 
 
xPegasusx Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann ist das eine Komposition.

1.
Wie beweise ich jetzt die Transaltion?
Die Komposition stimmt ja in dem Fall:



Reicht das, bzw. stimmt das?

Bei der zweiten Aufgabe geht das dann nicht:


Also gilt die Aussage nicht.

Jetzt habe ich noch zwei weitere Aufgaben:
Es wird behauptet:
Es gibt ein
Analog zu M:
Es gibt ein

Meine Idee dazu:
id heißt ja identische Abbildung.
Ich weiß nicht genau, aber sollte die Verknüpfung von Funktion und id nicht die Funktion wiedergeben? Oder sollte es sich wie ein neutrales Element verhalten, so dass ?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest Dir Deine definitionen nochmal genau anschauen. z.B. ist eine Abbildung hingegen ein Vektor die können nicht gleich sein. Was allerdings stimmt ist , und das würde als Beweis reichen.

Das hingegen
Zitat:
,
ist murks, selbet wenn man bzw. verwendet. Definition nachschauen!
Und um zu zeigen dass etwas nicht gilt muss man ein Gegenbeispiel angeben.
(wer sagt denn, dass aus welchen Gründen auch immer die Terme nicht den jeweils denselben Vektor ergeben?)

Zur weiteren Aufgabe: Bitte den exakten Wortlaut angeben.
Ich vermute Mal die Aufgabe ist von der Sorte: gibt es ein v mit...?

Das LaTeX-Kommando für Komposition ist \circ:
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast deinen Text teilweise stark verkrüppelt. Das geht schon vorne los.

Zitat:
Original von xPegasusx
V ist ein Vektorraum, wobei 0 nicht entahlten ist.


Ein Vektorraum enthält immer die Null. Vielleicht soll die Null des Vektorraums für gewisse Operationen im Folgenden nicht betrachtet werden. Das ist aber etwas GANZ ANDERES als zu sagen, der Vektorraum enthalte keine Null. Und noch viele Oberflächlichkeiten dieser Art sind in deinem Text zu finden ...

Der Malpunkt bedeutet hier die Verkettung zweier Abbildungen. Um Verwechslungen auszuschließen schreibe ich wie galoisseinbruder lieber dafür.

Die zweite Aussage ist falsch. Ich vermute, daß du hier den Text falsch abgeschrieben hast. Es soll vermutlich heißen. Denn dann stimmt es.

Auch mußt du zwischen einer Abbildung, z.B. , und dem Wert der Abbildung an einer Stelle , also , unterscheiden. Darauf hat galoisseinbruder schon hingewiesen. Die Unterscheidung ist in diesem Zusammenhang essentiell. Oberflächliches Dahinwerfen mathematischer Ausdrücke führt hier schnell ins Chaos.

Jetzt endlich einmal etwas Positives. Du hast bei 1. schon erkannt, worum es geht. Nur ist es nicht richtig aufgeschrieben. Ich führe dir einen Musterbeweis für 1. vor.


Zu zeigen:



Zwei Abbildungen sind dann und nur dann gleich, wenn sie auf allen Eingaben übereinstimmen. Daher ist genauer zu zeigen:



Sei daher . Dann gilt:



Da beliebig war, folgt die Behauptung: .



Jetzt du. Und genau und ausführlich. Die Berechnung von oben stimmt übrigens nicht, und zwar nicht nur formal nicht.

Nebenbei: ist eine Punktspiegelung an . Die Aussage sagt damit, daß man zwei Punktspiegelungen, nacheinander ausgeführt, durch eine Translation ersetzen kann.
xPegasusx Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke, ich muss mir die Formalitäten genauer ansehen.
Ich verwechsel noch zu viel.
Zmd. habe ich grob erkannt bei der ersten Aufgabe was zu zeigen war und das es stimmt.

Ich werde das jetzt für die 2.Aufgabe machen und dann komme ich auf die anderen wider zu.
xPegasusx Auf diesen Beitrag antworten »

Zur 2. Aufgabe:
In der Aufgabe steht es genau so, also nicht mit der Translation.
Es geht ja darum das man auch lernt etwas zu widerlegen.
Es kann gut sein das eine reale Aussage existiert die ähnlich ist, aber ich glaube hier in dem Fall kann es gut sein das es bewusst so gemacht wurde.





Zu zeigen bzw. zu wiederlegen:







Für und damit ist die Behauptung widerlegt, da die Abbildungen unterschiedliche Eingaben haben.

Ich hoffe das ist soweit nachvollziehbar und aus eurer Sicht auch korrekt.
Ich denke ich werde jetzt erst mal auf einen richtigen Latex-Editor umsteigen, damit ich besser meine "Live-Eingaben" verfolgen kann Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von xPegasusx
Für und damit ist die Behauptung widerlegt, da die Abbildungen unterschiedliche Eingaben haben.


Es geht um die Ausgaben! Aber sind die wirklich unterschiedlich? Ich weiß natürlich nicht, ob "Körper der Charakteristik 2" zu deinem mathematischen Erfahrungshorizont gehört. Vielleicht wäre es dennoch nicht schlecht, für die scheinbare Selbstverständlichkeit noch Argumente anzubringen.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

So siehts gut aus Freude
Ich habe aber noch einen Einwand der vielleicht etwas untergegangen ist

Zitat:
Original von galoisseinbruder

Und um zu zeigen dass etwas nicht gilt muss man ein Gegenbeispiel angeben.
(wer sagt denn, dass aus welchen Gründen auch immer die Terme nicht den jeweils denselben Vektor ergeben?)


Es gilt z.B. für (dem Körper mit 2 Elementen) . Dort gilt die Gleichheit also.
Nur weil Terme verschieden aussehen heißt es noch nicht, dass sie auch verschiedene Werte ausspucken. Deswegen: Gegenbeispiel.
xPegasusx Auf diesen Beitrag antworten »

Okay dann würde es reichen wenn ich jetzt noch ein Gegenbeispiel nenne?
Für alle Werte gleich 1, erhielte man für die linke Seite
Die rechte Seite

Würde das genügen?
oder müsste man v und w beliebig lassen?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

In welchem Vektorraum soll denn das Gegenbeispiel leben?
i.A. ist 1 kein Vektor.
Und da Du die Aussage widerlegen kannst Du auch geeignete v,w auswählen.
xPegasusx Auf diesen Beitrag antworten »

Für v und w gleich 1 hätte man dann x = -x und das wäre ein direkter Widerspruch?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast meine Frage nicht beantwortet:
Zitat:
Original von galoisseinbruder
In welchem Vektorraum soll denn das Gegenbeispiel leben?
i.A. ist 1 kein Vektor.

Und Deine hatte ich schonmal beantwortet
Zitat:
Original von galoisseinbruder
Es gilt z.B. für (dem Körper mit 2 Elementen) . [/B]

Außerdem: Widerspruch wozu?
xPegasusx Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso ist 1 denn kein Vektor?
Ist das nur falsch geschrieben?

Das mit dem F verstehe ich gerade gar nicht, bzw. auch das mit dem Vektorraum.

Hab ich in der Form noch nie gesehen.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn z.B dann ist 1 kein Element des Vektorraums also kein Vektor.
Der Körper mit 2 Elementen dient mir hier dazu um zu zeigen, dass auch x=-x in einem Vektorraum gelten kann. Man kann also x=-x nicht aus den Vektorraum-Axiomen herleiten.
Und jeder Körper ist auch ein Vektorraum über sich selbst.
xPegasusx Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss ich für R, R^2 und R^3 eigene Beispiele machen?
Oder wie meinst du das jetzt?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Du musst ein KONKRETES Gegenbeispiel angeben. Dazu gehört auch die Angabe eines Vektorraums in dem das nicht gilt.
xPegasusx Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich sage x stammt aus dem Vektorraum R, dann reicht das ?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du in dem Vektorraum R ein x ein v und ein w hast, so dass die Aussage nicht gilt ist es ein Gegenbeispiel und die Aussage ist widerlegt.
xPegasusx Auf diesen Beitrag antworten »

Okay also schreibe ich über den vermeindlichen Widerspruch und das Gegenbeispiel reicht aus?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Schreibs hin, dann kann ich sagen ob´s ein Gegenbeispiel ist. Wie gasagt ein konkretes Gegenbeispiel ist das Beste. (d.h. keine Variablen mehr)
Du meinst schon , die reellen Zahlen?
xPegasusx Auf diesen Beitrag antworten »




Zu zeigen bzw. zu wiederlegen:










Für und damit ist die Behauptung widerlegt, da die Abbildungen unterschiedliche Eingaben haben.

Konkretes Beispiel:


galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mach mal einen Formulierungsgegenvorschlag:
gilt nicht, denn sei .
Dann ist .
xPegasusx Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke so muss ich mir das merken.

Zur dritten Aufgabe:

Ich schreib sie mal komplett ab.

Aufgabe war beweisen oder widerlegen Sie:

3. Es gibt ein

Analog dazu:

4. Es gibt ein

Um dazu zu kommen was ich mir dazu gedacht habe:

Eine identische Abbildung wird doch dadurch gekennzeichnet, dass die Funktion angehängt an die identische Abbildung wieder die Funktion zurück gibt?
Ansatz:


Ist das in diesem Kontext korrekt?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Die Notation ist geschickter, da es die Identität auf dem vektorraum ist und mit einem gegebenen Vektor nicht viel zu tun hat. Ansonsten ist es korrekt wobei wohl für die Aufgabe geeigneter ist.
xPegasusx Auf diesen Beitrag antworten »

Okay gut ich hab das jetzt soweit mal durchgespielt.

Muss ich jetzt erst mal ein formulieren, das dann den Definitionen genügt? und dann prüfen ob die Abbildung gilt?

Gerade der erste Schritt fällt mir schon schwer, ich kann mir da gerade wenig drunter vorstellen.

Das würde ja stimmen:

Oder sehe ich das falsch?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs doch eigentlich schon geschrieben verwirrt
ist bereits definiert.
(Deswegen hat die Abbildung ja auch einen eigenen Namen und sogar eine eigene Schreibweise)
xPegasusx Auf diesen Beitrag antworten »

Okay jetzt sehe ich es etwas klarer.




Ist damit der Beweis erbracht, dass die Aussage stimmt?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Die Frage war
Zitat:
Beweise oder widerlege:
3. Es gibt ein Analog dazu:
4. Es gibt ein
xPegasusx Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt ich hab die ganze Augabe schon wieder verloren gehabt.





Für den Raum R.



So?
Auf der linken Seite steht dann das bekannte, v+x und rechts nur x oder wie?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.
xPegasusx Auf diesen Beitrag antworten »

Daraus folgt dann das die Aussage falsch ist(für R), da

Wobei v dann nicht 0 sein darf(in R).

Kann man das dann so schreiben?
Werde dann gleich die nächste Aufgabe genau so machen und mal schauen was da raus kommt.
xPegasusx Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Aufgabe 3:












Wenn x im Raum R, dann ist die Aussage widerlegt.

Stimmt das so?
Irgendwie glaube ich dem nicht so ganz, mache ich beim id was falsch oder in der Gleichsetzung?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wobei v dann nicht 0 sein darf(in R).

Schau Dir nochmal genau die AUfgabenstellung an.

Zitat:
Wenn x im Raum R, dann ist die Aussage widerlegt.

GEGENBEISPIEL (das Schreien ist Absicht, ich hab hier bereits mehrfach und ausführlich darauf hingewiesen, dass um zu zeigen dass etwas nicht gilt ein gegenbeispiel nötig ist.)
xPegasusx Auf diesen Beitrag antworten »

Okay jetzt bin ich verwirrt.
Das erste verstehe ich nicht, also aus meiner Sicht wären beide Aussagen falsch.

Gegenbeispiele habe ich noch keine gebracht weil ich nicht weiß ob das so weit stimmt.

Ansonsten:

v = 1, x =1 aus R.

1.Aufgabe 1+1 = 1 Widerspruch
2.Aufgabe 1-1 = 1 Widerspruch
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Beweise oder widerlege: 3. Es gibt ein Analog dazu: 4. Es gibt ein
xPegasusx Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich das nicht jetzt getan?
Ich habe ein v gezeigt?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wobei v dann nicht 0 sein darf(in R).

Warum schließt Du hier v=0 aus?
Weil ja gerade
xPegasusx Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt...
also für v = 0 würde es mit der identischen Abbildung zu treffen.

Bei der Aufgabe 2 könnte man 0 jetzt als Gegenbeispiel angeben, wo dann -x herauskäme.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, könnte man. Aber wieder wie vorher konkretes Gegenbeispiel. Ich habe hier ja schon einen VR genannat in dem x=-x gilt.
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