Polynomfaktorisierung in R[X]

18.11.2011, 17:31	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomfaktorisierung in R[X] Guten Abend, ich hätte Mal wieder ein paar Fragen. Es geht um folgendes: Sei R ein faktorieller Ring.Sei $\begin{eqnarray} \|R^{}\| < \infty \end{eqnarray}$ und eine Primzerlegung in R möglich. Sei $\begin{eqnarray} 0 \neq f \in R[X] \Rightarrow f = c(f)g \end{eqnarray}$ wobei g primitiv und $\begin{eqnarray} c(f) \in R \end{eqnarray}$ . Sei g reduzibel, dann gibt es ein $\begin{eqnarray} t \in R[X] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t \| g \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} deg(t) \leq \frac{1}{2}deg(g) \end{eqnarray}$ . Hier meine erste Frage: Weshalb gilt $\begin{eqnarray} deg(t) \leq \frac{1}{2}deg(g) \end{eqnarray}$ das? Das ist mir nicht wirklich klar. Mir ist bewusst das der Grad von t kleiner sein muss als der von g. Aber wieso mindestens halb so klein? Sei nun $\begin{eqnarray} \|R\| = \infty \end{eqnarray}$ . Dann gibt es $\begin{eqnarray} deg(g) + 1 \end{eqnarray}$ verschiedene $\begin{eqnarray} a_{i} \in R \end{eqnarray}$ . <- Ich gehe davon aus das hier die Koeffizenten des Polynoms gemeint sind. Aber weshalb gibt es gerade $\begin{eqnarray} deg(g) +1 \end{eqnarray}$ verschiedene? Es kann doch auch weniger geben. Ich dachte es gibt nur maximal so viele. Aus $\begin{eqnarray} t\| g \end{eqnarray}$ folgt nun $\begin{eqnarray} t(a_{i}) \| g(a_{i}) \end{eqnarray}$ . In R hat $\begin{eqnarray} g(a_{i}) \end{eqnarray}$ nur endlich viele Teiler, da $\begin{eqnarray} \|R^{}\| < \infty \end{eqnarray}$ . Auch hier verstehe ich nicht weshalb dies gelten muss? Wenn $\begin{eqnarray} \|R^{}\| = \infty \end{eqnarray}$ gilt so hat g(ai) natürlich unendlich viele Teiler. Aber wieso folgt aus $\begin{eqnarray} \|R^{}\| \end{eqnarray*}$ zwangsläufig das es nur endlich viele gibt? Kann es nicht sein, dass es dennoch unendlich viele Teiler gibt? Daraus folgt weiter das es nur endlich viele Möglichkeiten für ai gibt. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand hilft Licht ins Dunkeln zu bringen
18.11.2011, 18:05	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomfaktorisierung in R[X] hallo joker, wenigstens deine erste frage kann ich dir beantworten: wenn g reduzibel ist, kann man g also als produkt von 2 polynomen schreiben, und die summe der grade der beiden polynome muss ja dann deg(g) sein, und man kann t ja dann so wählen, dass es das polynom mit dem kleineren, also maximal halb so grossen grad ist. Ach ja. und wenn ein polynom den grad g hat, muss es natürlich g+1 koeffizienten haben, a_0 zählt ja auch mit. gruss ollie3
18.11.2011, 18:12	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Hilfe. Das $\begin{eqnarray} deg(t) \leq \frac{1}{2}deg(g) \end{eqnarray*}$ gilt habe ich nun verstanden. Das ein Polynom vom Grad g eben g+1 Koeffizenten hat war mir bewusst. Ich verstehe bloß nicht weshalb hier angenommen wird das diese verschieden sein müssen. Man könnte ja auch a1 = a2 wählen. Dennoch vielen, vielen Dank. Jetzt ist es mir wenigstens ein bisschen klarer.

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