Unterraum von zwei Teilmengen

18.11.2011, 19:57

martinio

Unterraum von zwei Teilmengen

Guten Abend,

hier eine Aufgabe , bei der ich nicht weiterkomme:

Zitat:

Es sein V ein Vektorraum und $\begin{eqnarray*} U,W \subset V \end{eqnarray*}$ Unterräume von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .
Zeige, dass $\begin{eqnarray*} U \subset W \end{eqnarray*}$ genau dann ein Unternehmen von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist, wenn $\begin{eqnarray*} U \subset W \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} W \subset U \end{eqnarray*}$ gilt .

Mein Ansatz:

zz. eine Äquivalenzrealation:

$\begin{eqnarray*} ( U \subset W) <=> (U\subseteq W) \vee (W \subseteq U) \end{eqnarray*}$

würde jetzt mit " => " anfangen , aber da weiß ich nicht genau wie, muss ich mir jetzt ein Element nehmen or what?

dannach " <= " , da es eine Äquivalenzrelation ist.

18.11.2011, 20:25

Klassi

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Soll das eher $\begin{eqnarray*} ( U \cup W) \end{eqnarray*}$ ist Unterraum $\begin{eqnarray*} <=> (U\subseteq W) \vee (W \subseteq U) \end{eqnarray*}$

19.11.2011, 01:32

martinio

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Edit:

$\begin{eqnarray*} ( U \cup W) \end{eqnarray*}$ ist Unterraum $\begin{eqnarray*} <=> (U\subseteq W) \vee (W \subseteq U) \end{eqnarray*}$

19.11.2011, 22:51

ComplexP

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Hi!

Also ich kann immer nur empfehlen sich erstmal die nötigen Definitionen nochmal aufzuschreiben. Ein Unterraum (UR) W von V liegt also vor, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1) $\begin{eqnarray*} 0 \in W \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} \forall u,v \in W: u+v \in W \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} \forall \lambda \in K, \forall u \in W: \lambda u \in W \end{eqnarray*}$

Ausgehend davon ist es am einfachsten erstmal die Richtung "<=" zu zeigen. Dazu kann man im ersten Schritt annehmen, dass $\begin{eqnarray*} U \subseteq W \end{eqnarray*}$ gilt und zeigen, dass $\begin{eqnarray*} U \cup W \end{eqnarray*}$ damit ein UR ist. Hinterher lässt sich dann in einem kurzen Satz argumentieren, dass das auch für $\begin{eqnarray*} W \subseteq U \end{eqnarray*}$ folgt.
Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} U \cup W \end{eqnarray*}$ ein UR von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist, muss nur gezeigt werden, dass die oben aufgeführten drei Bedingungen für $\begin{eqnarray*} U \cup W \end{eqnarray*}$ erfüllt werden (unter der Annahme, dass $\begin{eqnarray*} U \subseteq W \end{eqnarray*}$ gilt).
Punkt 1) ist z.B. trivial, da $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ URs von V sind und damit beide die Null enthalten. Entsprechend enthält auch $\begin{eqnarray*} U \cup W \end{eqnarray*}$ die Null.

Die andere Richtung "=>" ist ein bisschen tricky. Ich würde vorschlagen anzunehmen, dass $\begin{eqnarray*} (U \subseteq W) \vee (W \subseteq U) \end{eqnarray*}$ nicht erfüllt ist und dann zeigen, dass somit auch $\begin{eqnarray*} U \cup W \end{eqnarray*}$ kein UR von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist. Daraus folgt ja dann gleich die Behauptung.
Angenommen also es gilt $\begin{eqnarray*} (U \not\subseteq W) \wedge (W \not\subseteq U) \end{eqnarray*}$ . Dann:

$\begin{eqnarray*} \exists u \in U: u \not\in W \wedge \exists w \in W: w \not\in U \end{eqnarray*}$

Sei also $\begin{eqnarray*} u \in U \backslash W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \in W \backslash U \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} v := u+w \end{eqnarray*}$
Dann folgt, dass $\begin{eqnarray*} v \not\in U \end{eqnarray*}$ , da sonst $\begin{eqnarray*} w = v-u \end{eqnarray*}$ ein Element von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ wäre. Aus dem gleichen Grund gilt $\begin{eqnarray*} v \not\in W \end{eqnarray*}$ , also insgesamt $\begin{eqnarray*} v \not\in (U \cup W) \end{eqnarray*}$ .
Damit ist gezeigt, dass unter der verwendeten Annahme die Regel 2) für $\begin{eqnarray*} U \cup W \end{eqnarray*}$ nicht erfüllt und dieser damit kein UR ist.

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