[ln(x)-t]² Stammfkt.

08.01.2007, 15:05

SamFisher

[ln(x)-t]² Stammfkt.

Hallo,

bräuchte Hilfe bei der Bestimmung eines Integrals für die f(x) = [ln(x)-1]²

Mit der partiellen Integration komme ich auf: F(x) = (ln(x)-1)*x*ln(x) - x*ln(x) + x

Nun ist mir aber bekannt:

f(x) = (ln(x))² ist F(x) = x*(ln(x))² - 2x*ln(x)+2x

Daher kann meine Lösung nicht richtig sein

Könnte mir jemand helfen wie ich auf das richtige Integral komme?

08.01.2007, 15:21

Bjoern1982

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Hallo Splinter-Cell Fan smile

Du hast anscheinend einen Fehler bei der partiellen Integration gemacht.
Bedenke dass eine Stammfunktion für f(x)=ln(x) so lautet: F(x)=xln(x)-x

Wenn du uns deinen Rechenweg schildern würdest könnten wir auf Fehlersuche gehen.

Gruß Björn

08.01.2007, 15:48

SamFisher

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Also ich bin wie folgt vorgegangen:

u=(ln(x)-1
v´=(ln(x)-1
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~(ln(x)-1)*(ln(x)-1)~dx = (ln(x)-1)*x*ln(x)-x+c-x - \int_{b}^{a}~(x*ln(x)-x+c-x)*\frac{1}{x}~dx= (ln(x)-1)*x*ln(x)-x+c-x - \int_{b}^{a}~ln(x)-2~dx= ln(x)-1)*x*ln(x)-x+c-x - x*ln(x)+x-c+2x= (ln(x)-1)*x*ln(x)-x*ln(x) + x \end{eqnarray*}$

Hoffe ihr könnt in in diesem fehlerhaften Chaos noch durchblicken smile

08.01.2007, 16:04

Bjoern1982

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Naja...das ist nicht so einfach da durchzublicken, deshalb gebe ich mal den ersten Schritt vor:

Da man ja nicht alle Stammfunktionen betrachten muss setze ich c=0

Es fehlt noch dass u '(x)= 1/x und v(x)=xln(x)-2x

Daraus folgt wegen $\begin{eqnarray*} \int~u(x)v '(x)~dx= u(x)\cdot v(x) - \int~u'(x)\cdot v(x)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~(ln(x)-1)^2~dx= (ln(x)-1) \cdot (x \cdot ln(x)-2x) - \int~ln(x)-2~dx \end{eqnarray*}$

Jetzt noch die Klammern auflösen, eine Stammfunktion von ln(x)-2 finden, zusammenfassen und evtl noch x am Ende ausklammern.

Gruß Björn

08.01.2007, 16:15

SamFisher

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danke das hilft mir sehr und ich lerne mal wieder den Klammern mehr Beachtung zu schenken Augenzwinkern

Danke nochmal

08.01.2007, 16:25

Bjoern1982

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Keine Ursache smile

Wenn du magst kannst du ja dein Ergebnis zum Vergleichen posten.

Gruß Björn

08.01.2007, 16:30

SamFisher

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F(x)= x(ln(x)² - 4ln(x)+2)

hoffe es stimmt so

08.01.2007, 16:40

Bjoern1982

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Ich komme auf +5 statt +2 verwirrt

08.01.2007, 16:48

SamFisher

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x*ln(x)²- 2xln(x) -x -ln(x) - ((x*ln(x)-x)-2x)

x*ln(x)²- 2xln(x) -x -ln(x) - x*ln(x)+3x

x(ln(x)² - 2ln(x) - 1 - ln(x) - ln(x) +3)

x(ln(x)² - 4ln(x) + 2)

Falls du meinen Fehler findest schonmal danke smile

08.01.2007, 16:54

Bjoern1982

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Zitat:

x*ln(x)²- 2xln(x) -x -ln(x)

Hier steckt schon der Fehler, da du am Schluss faksch ausmultipliziert hast.

Es muss x*ln(x)²- 2xln(x) -x*ln(x)+2x heissen.

Gruß Björn

08.01.2007, 17:02

SamFisher

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oh man hab am Anfang falsch ausmultipliziert. Jetzt komme ich auch auf die +5

wieder mal vielen dank

edit: hätte da jetzt auch ne weitere Frage

Die Normale im Wendepunkt W(e^t+1/1) schneidet die x-Achse in S. Für welchen Wert von t liegt S dem Ursprung am nächsten?

HAb jetzt eine Normalengleichung aufgestellt

$\begin{eqnarray*} y= \frac{-e^(t+1)}{2} *x + \frac{e^(2t+2)}{2} +1 \end{eqnarray*}$

die Steigung der zur Normalen gehörenden Kurve lautet
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{e^(t+1)} \end{eqnarray*}$

Ich hab mir überlegt, dass wenn die Steigung der Kurve im Wendepunkt am Niedrigsten ist, dann müsste die Normale die x-Achse möglichst nah am Ursprung schneiden. Dies trifft bei mir für t --> unendlich zu.

Daher ist meine Frage ob das stimmen kann und wie alternative Überlegungen aussehen würden

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