Allgemeine Lösung des Systems

08.01.2007, 15:54

CadLight

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Allgemeine Lösung des Systems

Hallo,

ich sitze gerade an einer Aufgabe und komme nicht so recht weiter. Die Aufgabe ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} '= \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} sin(x) \\ cos(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

soweit so gut, als erstes habe ich die Eigenwerte errechnet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 - \lambda & -2 \\ 1 & -1 -\lambda \end{pmatrix}= (1-\lambda )(-1-\lambda )+2 \Rightarrow \lambda _1= i /und/ \lambda _2=-i \end{eqnarray*}$

Nun folgen die Eigenvektoren:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 +i & -2 \\ 1 & -1 +i \end{pmatrix} = Zeile 2 * (1+i) = \begin{pmatrix} 1 +i & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-i \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} ev_1=\begin{pmatrix} 1-i \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ev_2=\begin{pmatrix} 1+i \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und nun komme ich nicht weiter, ich möchte gerne zu der Form $\begin{eqnarray*} \vec{y}(x)= (C_1 \begin{pmatrix} ? \\ ? \end{pmatrix} cos(?x)+ C_2 \begin{pmatrix} ? \\ ? \end{pmatrix} sin(?x))e^{?x} \end{eqnarray*}$
kommen.
ichbin mir nicht wirklich sicher ob der Eigenvektor richtig ist, da ja ein Teil Komplex und der andere Real ist.

08.01.2007, 20:58

CadLight

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Ich habe das problem noch nicht gelöst traurig

traurig

immer her mit den Ratschlägen Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.01.2007, 21:17

vektorraum

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Hi!

Dein Eigenvektor stimmt nicht. Die Eigenvektoren heißen (nach Mathematica)

$\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 1+i \\ 1 \end{pmatrix},~v_2=\begin{pmatrix} 1-i \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

OK. Dann kennst du doch zumindest eine Lösung des homogenen Systems.
Satz: Ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ Eigenwert zu einer Matrix $\begin{eqnarray*} A=(a_{ij}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ zugehöriger Eigenvektor, dann ist

$\begin{eqnarray*} v\cdot e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$

Lösung von $\begin{eqnarray*} y'=Ay \end{eqnarray*}$ , d.h. dem homogenen System.
Dann kannst du zumindest das erstmal aufschreiben. Dann mach einfach Variation der Konstanten...

09.01.2007, 12:42

CadLight

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ja vielen dank für den Ansatz, so schwer ist das denn doch wohl nicht verwirrt

verwirrt

(jetzt wo ich das lese)

...ich rechne mal und heute Abend kommt dann die Lösung

09.01.2007, 18:03

CadLight

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Nun wollte ich mich gerade noch einmal an dieser Aufgabe versuchen, und da fällt mir auf:

Zitat:

Original von vektorraum

$\begin{eqnarray*} v\cdot e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$

das gilt doch nicht für komplexe Eigenwerte, oder ?! ...

09.01.2007, 18:10

CadLight

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meine homogene Lösung schaut nämlich jetzt so aus:

$\begin{eqnarray*} \vec{y}_h (x)= (C_1\begin{pmatrix} 1-i \\ 1 \end{pmatrix} cos(x) + C_2\begin{pmatrix} 1+i \\ 1 \end{pmatrix} sin(-x))e^{-x} \end{eqnarray*}$

ich finde das schaut immer noch sehr merkwürdig aus, ...nun habe ich aber auch noch nicht soviele Aufgaben von diesem Typ gerechnet

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09.01.2007, 21:48

vektorraum

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Hi!

Ich habe jetzt die Aufgabe nicht durchgerechnet. Aber allgemein. Erhält man einen komplexen Eigenwert, so muss man natürlich auch den dazu konjugiert komplexen erhalten, dass heißt mindestens zwei komplexe Eigenwerte. Die Idee hierbei ist, dass man davon nur einen betrachtet und letztendlich eine Lösung, die ja Real- und Imaginärteil beinhaltet versucht aufzuspalten, so wie du es schon richtig getan hast. Das das Sinus oder Cosiunus auftauchen ist ganz normal.
Wenn du gerade den anderen Eigenwert nimmst, kommst du übrigens auf das gleiche Ergebnis Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.01.2007, 22:01

CadLight

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ich glaube ich bin sooo kurz davor, dass auch wirklich zu verstehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

demnach hätte ich mich aber allerdings in meiner Lösung auf ein Eigenwert und den dazugehörigen Eigenvektor beziehen müssen. Ich habe beide genommen und somit ändern sich ein paar Vorzeichen.

Das ich auf das gleiche Ergebnis komme, war mir nie bewusst. Für diesen Lichblick bin ich sehr dankbar Freude

Freude

10.01.2007, 13:11

vektorraum

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Hi!

Das du wirklich auf die gleiche Lösung kommst, kannst du ja einfach mal durchrechnen, in dem du mal die eine Lösung nimmst, und dann die andere Lösung mit dem konjugiert komplexen. Das stimmt wirklich. Nur kann das Aufspalten in Real- und Imaginärteil manchmal gar nicht so angenehm sein...
Noch als Bemerkung bzgl der Eigenvektoren - wenn diese Komplex sind, d.h. Eigenwerte bereits komplex sind - dann muss auch immer der zu diesem Vektor zugehörige konjugiert komplexe auftauchen. D.h. alle reellen Einträge sind gleich - nur das Vorzeichen vor dem Imaginärteil ändert sich (weil es im ersten post gleich fehler gab)!

Kannst du nun mit der Inhomogenität umgehen?

10.01.2007, 16:26

CadLight

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Hallo vektorraum,

mir sind doch noch weitere Fehler aufgefallen, ich werde meine Lösung später nochmal posten.
Die inhomogenität kann ich doch durch die Wronskideterminanten bestimmen, wenn ich erstmal die homogene Lösung habe, oder ?

Gruß aus Flensburg

Dana

10.01.2007, 19:46

CadLight

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so dann, ich glaube ich habe es endlich Tanzen

Tanzen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} '= \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} sin(x) \\ cos(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für die Eigenwerte bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 - \lambda & -2 \\ 1 & -1 -\lambda \end{pmatrix}= (1-\lambda )(-1-\lambda )+2 \Rightarrow \lambda = \pm i \end{eqnarray*}$

Nun folgten die Eigenvektoren:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 +i & -2 \\ 1 & -1 +i \end{pmatrix} = Zeile 2 * (1+i) = \begin{pmatrix} 1 +i & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-i \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} ev_1=\begin{pmatrix} 1-i \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ev_2=\begin{pmatrix} 1+i \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun betrachte ich nur ein Eigenvektor und den dazugehörigen Eigenwert, (lamda = +i ) dann lautet die homogene Lösung:
$\begin{eqnarray*} \vec{y}_h (x) = \begin{pmatrix} 1+i \\ 1 \end{pmatrix} e^{ix} \end{eqnarray*}$
das $\begin{eqnarray*} e^{ix} \end{eqnarray*}$ löse ich mit Herrn Euler, und ich bekomme
$\begin{eqnarray*} \vec{y}_h (x) = \begin{pmatrix} 1+i \\ 1 \end{pmatrix} (cos(x) + isin(x)) \end{eqnarray*}$

nun rechne ich das aus, und erhalte:

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} cos(x)+icos(x) & isin(x)-sin(x) \\ cos(x) & isin(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun sortiere ich nach real- u. imaginärteil

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} cos(x)-sin(x) & isin(x)+icos(x) \\ cos(x) & isin(x) \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} cos(x)-sin(x) \\ cos(x) \end{pmatrix}+i\begin{pmatrix} sin(x)+cos(x) \\ cos(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

daraus folgt nun:

$\begin{eqnarray*} \vec{y}_h(x)= C_1\begin{pmatrix} cos(x)-sin(x) \\ cos(x) \end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix} sin(x)+cos(x) \\ cos(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

der Ansatz zur inhomogenen Lösung ist dann:

$\begin{eqnarray*} \vec{y}_h(x)= C_1(x)\begin{pmatrix} cos(x)-sin(x) \\ cos(x) \end{pmatrix}+C_2(x)\begin{pmatrix} sin(x)+cos(x) \\ cos(x) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} sin(x) \\ cos(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun folgen die Wronski-Determinanten:

$\begin{eqnarray*} W(x)=\mid \begin{pmatrix} cos(x)-sin(x) & sin(x)+cos(x) \\ cos(x) & sin(x) \end{pmatrix} \mid = \mid -sin²(x)-cos²(x) \mid = \mid -1(sin²(x)+cos²(x) \mid = 1 \end{eqnarray*}$

dann folgt Wronski 1 ... usw

bin ich bis dahin denn auf dem richtigen Weg ?

10.01.2007, 22:55

vektorraum

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Hi!

Dickes Lob, hast du ja schon ganz gut gemacht Freude

Freude

Hab aber noch ein paar Ungenauigkeiten im Aufschreiben gefunden.
Über die Eigenwerte und Eigenvektoren haben wir schon geredet.
Erster Fehler. Nach dem Ausrechnen der Eigenvektoren bekommst du zunächst ein komplexes Fundamentalsystem, d.h. Lösungen für das homogene DGL-System. Das musst du aber auch erstmal so aufschreiben. Also:

$\begin{eqnarray*} y_{1h}(x)=e^{ix}\cdot \begin{pmatrix} 1+i \\ 1 \end{pmatrix} ,~y_{2h}(x)=e^{-ix}\cdot \begin{pmatrix} 1-i \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das folgt nach dem Satz von oben.
Dann muss man aufschreiben, dass es bei komplexen Fundamentalsystemen aber ausreicht, sich nur eine Lösung anzusehen, da die andere ja nur das konjugiert komplexe ist.
Dein weiterer Ansatz ist auch richtig!

Dann gibt es aber halt viele Möglichkeiten weiterzurechnen. Ich würde über Variation der Konstanten gehen oder über spezielle Ansätze, aber das ist Geschmackssache Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nochmal zum Ansatz der inhomogenen Dgl. Du weißt was $\begin{eqnarray*} y_h \end{eqnarray*}$ ist. Das leitest du dann ab und setzt das in deine Differentialgleichung ein. Du musst naütrlich schauen, was deine Dgl mit der homogenen Lösung macht!
D.h. du fasst dein $\begin{eqnarray*} y_h \end{eqnarray*}$ als Spaltenvektor für die Funktionen $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ auf, d.h.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{pmatrix} =C_1(x)\begin{pmatrix} \cos x-\sin x\\ \cos x \end{pmatrix} +C_2(x)\begin{pmatrix} \sin x+\cos x\\ \cos x \end{pmatrix},~C_1,C_2 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Dann jede Zeile differenzieren und in die Ausgangsgleichung einsetzen und versuchen zu lösen!

Edit: Code

11.01.2007, 20:16

CadLight

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soweit ich dir folgen kann, habe ich doch bis zu meiner homogenen Lösung, nur Schönheitsfehler gemacht, oder?

Mit der Variation der Konstanten im Anschluß der Rechnung weis ich nicht wirklich mit umzugehen. Oder betrachte ich auch hier nur einen Eigenwert mit dazugehörigen Eigenvektoren?
Ist es denn richtig, dass ich die inhomogene Lösung durch Wronski lösen kann?

gruß dana

12.01.2007, 16:05

vektorraum

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Hi!

Prinzipiell stimmt dein Lösungsweg schon, nur wie gesagt, im Detail musst du noch genauer sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

Variation der Konstanten finde ich, wäre hier ein günstiges Verfahren um eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung zu finden. Ich denke, du kannst es aber auch über Wronski machen, jedoch fehlt mir da die Übung, dir das erklären zu können.
Ich schreibe dir mal den Ansatz für Variation der Konstanten auf:

Deine Differentialgleichung hat die Form

$\begin{eqnarray*} y_1'=y_1-2y_2+\sin x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_2'=y_1-y_2+\cos x \end{eqnarray*}$

Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung war gewesen

$\begin{eqnarray*} y_{1h}=C_1(x)(\cos x-\sin x)+C_2(x)(\sin x-\cos x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{2h}=C_1(x)\cos x+C_2(x)\cos x \end{eqnarray*}$

Dabei seien nun $\begin{eqnarray*} C_1, C_2\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Konstanten, die nun auch eine Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erfahren...
Leite das mal ab. Dann erhälst du (ich lass die Argumente nun weg):

$\begin{eqnarray*} y_{1h}'=C_1'(\cos x-\sin x)+C_1(-\sin x-\cos x)+C_2'(\sin x-\cos x)+C_2(\cos x+\sin x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{2h}'=C_1'\cos x-C_1\sin x+C_2'\cos x-C_2\sin x \end{eqnarray*}$

Nun setzt du $\begin{eqnarray*} y_{1h} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_{2h} \end{eqnarray*}$ in deine DGL ein und da müsste einiges wegfallen. Dann löst du nach den $\begin{eqnarray*} C_1' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_2' \end{eqnarray*}$ auf und löst das zutreffende Gleichungssystem. Aber schreibe bis dahin erstmal auf...

12.01.2007, 16:28

CadLight

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Huhu,

da hat sich doch ein Fehler eingeschlichen, oder?

$\begin{eqnarray*} y_{1h}=C_1(x)(\cos x-\sin x)+C_2(x)(\sin x+\cos x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{2h}=C_1(x)\cos x+C_2(x)\cos x \end{eqnarray*}$

Dann erhalte ich doch nun:

$\begin{eqnarray*} y_{1h}'=C_1'(\cos x-\sin x)+C_1(-\sin x-\cos x)+C_2'(\sin x+\cos x)+C_2(\cos x-\sin x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{2h}'=C_1'\cos x-C_1\sin x+C_2'\cos x-C_2\sin x \end{eqnarray*}$

12.01.2007, 18:51

vektorraum

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Hi!

Oh, sorry Hammer

Hammer

Hab das falsche Vorzeichen von oben übernommen. Aber nun müsste der Ausdruck stimmen... Hast du schon weiter gerechnet???

P.S. Gut, dass du nochmal nachgerechnet hast Big Laugh

Big Laugh

12.01.2007, 22:59

CadLight

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ich habe es mittlerweile schon 3mal versucht zu rechnen, ich komme immer wieder durcheinander, bei der Variation der Konstanten und bei dem was ich da rauskürzen kann. Es dauert auch zu lange, da die therme sooooo groß sind.

Also bleib ich mal beim Wronski.

...nur da komme ich jetzt nicht mehr weiter da ich Probleme beim integrieren von

$\begin{eqnarray*} C_1(x)= \int_{}^{}~sin²(x)-sin(x)cos(x)-cos²~dx \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} C_2(x)= \int_{}^{}~cos²(x)-sin(2x)~dx \end{eqnarray*}$
habe

13.01.2007, 13:39

vektorraum

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Hi!

Oh je, die Integrale sehen ja nicht sehr angenehm aus. Ich gebe dir mal die Lösungen an, die ich mit Mathematica ausgerechnet habe:

$\begin{eqnarray*} C_1(x)=\cfrac{1}{2}\left(\cos^2 x-\sin(2x)\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C_2(x)=\cfrac{1}{4}\left(2(x+\cos(2x))+\sin(2x)\right) \end{eqnarray*}$

Wenn du es per Hand ausrechnen willst, würde ich dir empfehlen, dass du mal umschreibst.

$\begin{eqnarray*} \sin^2 x=\cfrac{1}{2}(1-\cos(2x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos^2 x=\cfrac{1}{2}(1+\cos(2x)) \end{eqnarray*}$

Und eventuell geeignete Substitutionen der Ausdrücke oder partielle Integration. Probier es einfach mal, sonst rechne ich selbst nochmal mit der Hand nach Wink

Wink

13.01.2007, 17:13

CadLight

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huhu

Wink

finde ich ja klasse , dass du mir soiviel Unterstützung gibst;

die Ansätze finde ich super, ich werde sie mir mal selber errechnen und schaue ob ich auf die gleiche Lösung komme. Schließlich ist das der letzte Schritt zu dieser Aufgabe und ich denke wenn da das richtige Ergebnis rauskommt, habe ich einen Meilenstein der Mathematik überwunden und vor allem --> begriffen *freu

gruß dana

13.01.2007, 18:49

vektorraum

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Hallo

Augenzwinkern

Schön, wenn ich dir bis hierher helfen konnte. Ich besuche nämlich auch gerade Vorlesungen zur Differentialgleichung, d.h. ist auch ne gute Übung für mich!

Du kannst ja deine Ergebnisse dann noch mal posten, wenn du magst!

17.01.2007, 15:36

CadLight

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Hallo Vektorraum,

mußte ein wenig für andere Klausuren lernen,

Die Lösung hast du mir mit den Integralen geliefert, denn nun schaut die allgemeine Lösung so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{pmatrix} =\cfrac{1}{2}\left(\cos^2 x-\sin(2x)\right)\begin{pmatrix} \cos x-\sin x\\ \cos x \end{pmatrix} +\cfrac{1}{4}\left(2(x+\cos(2x))+\sin(2x)\right)\begin{pmatrix} \sin x+\cos x\\ \cos x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für ein weiteres Zusammenfassen bin ich nicht zu haben, da schleichen sich zu gerne Fehler ein Hammer

Hammer

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