Beweis | Rekursionsformel für Binomial- und Poissionsverteilung

19.11.2011, 11:51

ChrisL1988

Beweis | Rekursionsformel für Binomial- und Poissionsverteilung

Hallo Leute,

ich soll zeigen, dass die Rekursionsformel für die beiden oben genannten Verteilungen wirklich gelten. Bei der Poission habe ich mir relativ leicht getan, hier mein Rechengang:

$\begin{eqnarray*} p_{k+1} = \frac{\lambda}{k+1} \cdot p_k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_k = \frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(0) = e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(1) = \frac{\lambda}{1!} \cdot e^{-\lambda} = P(0) \cdot \frac{\lambda}{1!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(2) = \frac{\lambda^2}{2!} \cdot e^{-\lambda} = P(1) \cdot \frac{\lambda}{2!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(k+1) = \frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!} \cdot e^{-\lambda} = e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!} \cdot \frac{\lambda}{k+1} = p_k \cdot \frac{\lambda}{k+1} \end{eqnarray*}$

Nur bei der Binomalfunktion komme ich nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} p_{k+1} = \frac{n-k}{k+1} \cdot \frac{p}{q} \cdot p_k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_k = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot p^k \cdot q^{n-k} \end{eqnarray*}$

Mit dem komme ich überhaupt nicht weiter, nun habe ich von einem Kollegen folgenden Tipp bekommen, dass ich für $\begin{eqnarray*} p_k \end{eqnarray*}$ folgendes verwenden soll:

$\begin{eqnarray*} p_k = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot (\frac{p}{q})^k \cdot q^{n} \end{eqnarray*}$

Doch wie komme ich von meiner Formel auf diese hier?

Danke im Voraus.

19.11.2011, 12:19

Bjoern1982

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Kommt halt darauf an an welcher Stelle genau du hängst.
Zunächst könnte es hilfreich sein $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auszudrücken.
Dein Kollege hat nur ein Potenzgesetz benutzt, denn $\begin{eqnarray*} p^k \cdot q^{n-k}=p^k \cdot q^n \cdot q^{-k}=\frac{p^k}{q^k} \cdot q^n =... \end{eqnarray*}$

19.11.2011, 13:52

ChrisL1988

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Kommt halt darauf an an welcher Stelle genau du hängst.
Zunächst könnte es hilfreich sein $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auszudrücken.
Dein Kollege hat nur ein Potenzgesetz benutzt, denn $\begin{eqnarray*} p^k \cdot q^{n-k}=p^k \cdot q^n \cdot q^{-k}=\frac{p^k}{q^k} \cdot q^n =... \end{eqnarray*}$

Okay, dann starte ich kurz einmal:

$\begin{eqnarray*} P(0) = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} \cdot (\frac{p}{q})^0 \cdot q^n = q^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(1) = \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} \cdot (\frac{p}{q})^1 \cdot q^n = n \cdot \frac{p}{q} \cdot q^n = P(0) \cdot n \cdot \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie komme ich dann bei P(2) nicht mehr weiter, beziehungsweise habe keine Ahnung wie ich auch nur annäherend an die Rekursivformel komme:

$\begin{eqnarray*} P(2) = \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} \cdot (\frac{p}{q})^2 \cdot q^n \end{eqnarray*}$

Muss ich hier den Binomialkoeffizienten irgendwie "auflösen"?

Danke.

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