Hilfe beim Schubfachprinzip

19.11.2011, 11:53	hallo1234567890	Auf diesen Beitrag antworten »
Hilfe beim Schubfachprinzip Meine Frage: es soll bewiesen werden, dass es unter 100 aufeinanderfolgenden natürlichen zahlen immer eine gibt,deren quersumme durch 14 teilbar ist. Meine Ideen: jede 14. zahl ist durch 14 teilbar->heißt das, es gibt 14 Schubfächer? was sind dann die elemente?
19.11.2011, 12:05	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ die kleinste der 100 Zahlen, d.h. es geht um die Zahlen $\begin{eqnarray} n,n+1,\ldots,n+99 \end{eqnarray}$ . Nun zerlegen wir $\begin{eqnarray} n = 100a+b \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ ist die aus den letzten beiden Ziffern von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gebildete Zahl, während $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ alle vorherigen Ziffern umfasst. 1.Fall: $\begin{eqnarray} 0\leq b\leq 49 \end{eqnarray}$ Dann sind sämtliche Zahlen $\begin{eqnarray} 100a + c \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 50\leq c\leq 99 \end{eqnarray}$ unter den 100 Zahlen vertreten. 2.Fall: $\begin{eqnarray} 50\leq b\leq 99 \end{eqnarray}$ Dann sind sämtliche Zahlen $\begin{eqnarray} 100(a+1) + c \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0\leq c\leq 49 \end{eqnarray}$ unter den 100 Zahlen vertreten. In beiden Fällen kann man nachweisen, dass sämtliche Kongruenzklassen modulo 14 unter den Quersummen der 50 genannten Zahlen zu finden sind, insbesondere auch die Kongruenzklasse 0, was ja der Behauptung entspricht.

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